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[mod="Fioravante Patrone"]Titolo originario del post:
Alcuni quesiti per esame Algebra1


Come detto esplicitamente dall'autore, ha tentato di ricevere aiuto durante un esame.
Se qualcuno è in grado di identificare di quale esame si tratti, o ha qualche "sospetto" in merito, è pregato di contattarmi via PM. A mia volta segnalerò la cosa al docente del corso.


UPDATE:
sto procedendo come indicato. Ho già contattato un docente dell'ateneo "coinvolto".

UPDATE 2:
ho contattato il docente dell'esame. Vedi post aggiunto al termine del thread
[/mod]

Intanto approfitto per salutare tutti visto che è il mio primo post.

Ora passo alle domande:

*) Nle gruppo simmetrico S8 si consideri la permutazione

a = (136)(4672)(527)

Punto1: Decomporre a nel prodotto di cicli disgiunti ( e fin qui ci sono)

b = Determinare gli ordin di a, b, ba^1 , dove b=(87654321)

in questo caso mi calcolo il valore di a^1 scambiando la prima riga con la seconda ( nella rapp. con tabella) e riordinando gli elementi secondo l'ordine naturale della prima riga, poi eseguo le composizioni utilizzando la forma tabllare applicando prima b poi a ( da sinistra a destra). Fatto cio come determino l'ordine dela permutazione? ( I passagi che ho detto sono corretti?)

**)

Si determinino, se esistono, tutti gli interi n che divisi per 5 danno resto 2 e divisi per 11 danno resto 8 ( su questo sono a zero).

***)

Si dica, motivando la risposta , se 5^12 -1 è divisibile per 12

Benvenuto nel forum!
Innanzitutto ti invito a scrivere i tuoi post con le formule in modo da facilitare la comprensione a tutti gli utenti

Veniamo a noi:
*) Per determinare l'ordine di una permutazione devi scriverla come composizione di cicli disgiunti. L'ordine sarà il $m.c.m.$ della lunghezza dei vari cicli.
Quindi, dopo aver seguito il procedimento da te descritto determini $a$, $b$ e $ba^{-1}$. Quindi determini il loro ordine. Mi sembra corretto ciò che tu dici.

**) Che significa che un intero $n$ diviso $5$ dà resto $2$ ? Significa che
$n-=2$ mod $5$ (A)
Analogamente dire che $n$ diviso $11$ dà resto $8$, significa che
$n-=8$ mod $11$ (B)
Quindi devi risolvere il sistema di congruenze formato da (A) e (B).

***) Quando $5^{12}-1$ è divisibile per $12$ ? Ciò accade se e solo se $5^{12}-=1$ mod $12$.
Quindi tenendo conto che $5^{12}=25^6$ e $25-=1$ mod $12$, si ha che...

Completa tu...forza!

per il primo esercizio:

Scrivo la permutazione come prodotto dei cicli disgiunti ottenendo $(13527846)$ , perciò il suo ordine sarà 8. L'ordine di b è 8.

Calcolo $a^-1$ ottenendo $(16487253)$ ordine 8.

a questo punto calcolo $ a^-1 * b $ che, scritto come prodotto di cicli disgiunti equivale a $(15247)(386)$ il cui ordine è 15.


Vi prego ditemi che non ho se***o tutto !!!

Ciao "GjBob", scusa se ti rispondo con un po' di ritardo...
Ho provato a fare l'esercizio *) e ho notato che sono molto arrugginito. Ti posto i miei risultati, ma prendili con il beneficio del dubbio.
Spero che qualche utente più in forma di me possa controllare i conti e darti una conferma/smentita.

Partiamo con $a$. Se lo scrivo come prodotto di cicli disgiunti io ottengo $a=(1\ 3\ 6\ 7\ 5\ 4)$. Quindi $a$ ha ordine $6$.
$b$ è già scritto un ciclo. Ha ordine $8$.
Calcolo $a^{-1}$ come mi hai suggerito tu: ottengo $a^{-1}=(1\ 4\ 5\ 7\ 6\ 3)$ (ordine $6$).
Ho calcolato $a^{-1}b$. Ottengo $a^{-1}b=(1\ 8\ 6\ 7\ 3\ 2\ 4)$ (ordine $7$).

Ripeto: non mi ricordo bene, non sono a casa e non posso controllare i miei appunti. Questi sono i miei risultati.

Ciao!

Una costatazione semplice riguardo all'inverso...

Se $a=bcdef$ allora $a^{-1}=f^{-1}e^{-1}d^{-1}c^{-1}b^{-1}$

L'inverso di un ciclo è qualcosa di molto semplice...

$(12)^{-1} = (12)$
$(123)^{-1} = (132)$
$(1234)^{-1} = (1432)$
$(1...n)^{-1} = (1,n,n-1,n-2,...2)$

Spero di averlo scritto in modo chiaro...
Quindi una volta che la permutazione è in cicli disgiunti è nella forma più comoda per quasi qualsiasi operazione, non si torna mai alla tabella se non strettamente indispensabile (anche perché è spesso una forma più compatta). E' un po' come la scomposizione in primi per i numeri naturali.

**) se non ti piacciono i moduli allora puoi sempre mettere a sistema x-11k=8 con x-5l=2... E' un sistema di due equazioni a due incognite. Ma i metodi con le congruenze sono più efficaci se aumentano le equazioni...

Questi sono i conti che faccio a partire da a per scrivere in cicli disgiunti:

$a(136)(4672)(527)

1->3
3->6
6->1
-----
4->6
6->7
7->2
2->4
-----
5->2
2->7
7->5

poi?

Ho l'impressione che tu abbia sbagliato qualcosa... Presumo che le permutazioni siano lette da destra a sinistra (non tutti seguono questa regola ma se le inverti dovresti invertire anche l'ordine della normale composizioni di funzioni).

$a = (136)(4672)(527)$

1->3
(13
3->6
(136
6->7
(1367
7->5
(13675
5->2->4
(136754
4->6->1
(136754)
------------
2->7->2

Quindi $a = (136754)$ e $o(a)=6$
$b = (87654321) = (18765432)$ e $o(b) = 8$
$a^{-1} = (457631) = (145763)$

P.S: A me piace avere come primo elemento del ciclo l'elemento più piccolo. Ma non è necessario.

$ba^{-1} =(18765432)(145763) = (1387562)$

$o(ba^{-1})=7$

Sul gruppo simmetrico ho le idee un po + chiare!! Un aiutino su es 2 e 3, ho l'esame domani

Su **) l'aiuto è nel mio post precedente. Devi solo risolvere il sistema di congruenze. Avrai imparato a farlo, no?

Su ***) tieni conto che $5^12=25^6$ e che $25-=1(mod12)$. Quindi $5^12-=1^6=1(mod12)$. Praticamente è finito...

In bocca al lupo per l'esame

Non ho frequentato il corso e le disp del mio prof sono quasi arabo! Un aiutino, un metodo di risoluzioen anche meccanico che mi possa dare una mano? Non pretendo di imparare tutto oggi !!