Domanda di teoria sull'immagine

[megas_archon]

OP, la risposta breve a tutti i tuoi dubbi è che puoi formalizzarli, ma ti sarà del tutto inutile a capire la cosa che volevi capire 40 messaggi fa.

Il motivo della confusione è che stai mescolando due aspetti della faccenda: il linguaggio naturale, da un lato, cioè "se questo è vero, e questo implica quest'altro, allora quest'altro è vero", che non ha niente di ovvio, ma è semplicemente una presupposizione del nostro pensiero, e dall'altro il linguaggio formale in cui questo si rende preciso: si fissa un insieme di variabili, si definiscono i vari connettivi booleani (congiunzione, disgiunzione, implicazione, etc.), li si raccoglie in un insieme $L$ cosa che finora non ha attribuito nessun significato, cioè nessun valore di verità, e poi si fissa una funzione di interpretazione, da $L$ a un insieme di valori di verità, usando la struttura di algebra di Boole di questo insieme, e definendo per induzione, a partire dal valore di verità dei generatori, i valori di verità di \(p\land q,p\lor q,p\Rightarrow q\)... Viene fatto qui https://builds.openlogicproject.org/con ... -logic.pdf e il mio consiglio è (alternativamente)
o di lasciar perdere del tutto questi problemi, oppure di tornare a rispondere SOLO QUANDO LE PRIME DODICI PAGINE DI QUESTO TESTO TI SONO CRISTALLINAMENTE CHIARE.

Quando hai deciso, a tuo rischio, la seconda cosa, ti accorgerai che una "tautologia" non è un concetto metafisico, bensì è nient'altro che una formula "sempre vera rispetto a ogni valutazione". E il modus ponens è una tautologia, perché grazie alla definizione induttiva data per \(\varphi = p\land (p\Rightarrow q))\Rightarrow q\) si dimostra che \(\mathfrak v(\varphi)=true\) per ogni valutazione: infatti, questo riduce all'equazione
\[y\lor \lnot(x \land (y\lor \lnot x))\] vera nell'algebra dei Booleani. Se fai il conto, ti accorgerai che \(y\lor \lnot(x \land (y\lor \lnot x))\) è solo una parola lunga lunga per scrivere "1".

[nestor]

OP, la risposta breve a tutti i tuoi dubbi è che puoi formalizzarli, ma ti sarà del tutto inutile a capire la cosa che volevi capire 40 messaggi fa.

sì, certo, è chiaro che siamo usciti dal discorso iniziale. Ma come spesso accade aperta una porta ce ne sono mille altre e qui ho aperto un portone di mia ignoranza estrema. Insomma, è chiaro che il dubbio iniziale c'entra nulla con questo, ma è altrettanto intrigante.

Detto questo, se quelle pagine mi aiuteranno a capire perché dalla tautologia del modus ponens:
(P & (P=>Q)) => Q, riesco a dedurre perché per dimostrare Q basta mostrare che P=>Q è vera e P è vera allora Q è vera le leggerò più che volentieri .

Capire qualcosa, anche con sacrifici, è sempre piacevole per uno stolto

[Martino]

Nestor, secondo me non ti è chiaro cosa sia una tautologia. Qual è la definizione di tautologia? Prova a scrivere qualche esempio di tautologia.

[nestor]

Una tautologia dovrebbe essere qualcosa di sempre vero.
Esempi piuttosto scemi, così su due piedi:
(P & Q)=>Q
not (P and not P)
(A=>B) <=> (not B => not A)

Il fatto che in questi non ci vedo una deduzione di qualcosa come invece per il modus ponens che lì mi permette di dedurre "Se P=>Q è vera e P è vera allora Q è vera". ES: non dico se P e Q veri allora deduco Q vera.
Sta qui il mio dilemma

[megas_archon]

Ti ho dato io la definizione di tautologia. È una formula che viene interpretata in "vero" da ogni funzione di interpretazione. Ti è chiara questa definizione?

[nestor]

Mi pare di sì, per quanto sono riuscito a leggere in pochi minuti riguardo la funzione di interpretazione.

[Martino]

(P & Q)=>Q

Anche questa è una deduzione di qualcosa, perché non ti crea confusione?

[nestor]

E' [...] deduzione di qualcosa, perché non ti crea confusione?

Probabilmente perché, in effetti, non l'ho mai sfruttata come tale per dimostrare qualcosa. Insomma, non me ne ero mai accorto. Mentre oggi mi sono scontrato con la deduzione dal modus ponens e con il relativo dimostrare Q.

In sostanza anche tramite quella: (P & Q)=>Q, posso andare a dimostrare Q dicendo se P & Q è vera allora deduco Q (partendo quindi da P & Q vere).

Tuttavia, ovviamente, ci sono tautologie che non portano a deduzioni: vedi il mio altro esempio:
not (P and not P)

[Martino]

(A=>B) <=> (not B => not A)

Da questa tautologia ne puoi immediatamente dedurre un'altra:

(A=>B) => (not B => not A)

Questa è una deduzione. Perché non ti crea confusione?

E perché invece il modus ponens ti crea confusione?

[nestor]

Sempre per il motivo di cui sopra. Perché il modus ponens è la prima volta per cui ho sfruttato il fatto che una tautologia mi fa capire che se (A=>B) è vera allora deduco (not B => not A). Quindi posso dimostrare (not B => not A) vera, dopo aver mostrato (A=>B) vera.

Diciamo che il modus ponens ha avuto la "sfiga", per primo, di farmi rendere conto di questo utilizzo.