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No, se lo vuoi dimostrare devi scriverne una dimostrazione formale, non basta un'idea vaga. Inoltre l'induzione secondo me in questo caso non funziona.

Se $F_1//(p_1^(n-1))~~F_2//(p_2^(n-1)(x))$ con $F_1~~F_2$ ed $p_1^(n-1)(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_(n-1)x^(n-1)$ allora se $phi$ è un isomorfismo di $F_1$ in $F_2$ dovrà essere $p_2^(n-1)=phi(a_0)+phi(a_1)(x)+phi(a_2)(x^2)+,.....,phi(a_(n-1))(x^(n-1))$ giusto?

No, dipende dall'isomorfismo.

Se è unico?

Scusa se insisto, prendiamo l'esempio del polinomio $p(x)=x^3-5$ irriducibile in $QQ$ , consideriamo le estensioni:
$F_1=QQ(root(3)(5))$ ed $F_2=QQ(root(3)(5)j)$ con $j$ radice ennesima dell'unità,
in questo caso risulta $p_1(x)=(p(x))/((x-root(3)(5)))=(x^2+root(3)(5)x+root(3)(25))$ ed
$p_2(x)=(p(x))/((x-root(3)(5)j)$ $=(x^2-root(3)(5)jx+root(3)(25)j^2)$
$(F_1[x])//(p_1(x))~~(F_2[x])//(p_2(x))$ con l'isomorfismo $phi$ tale che $phi(root(3)(5))=root(3)(5)j$ giusto?

No, quello che scrivi non ha senso, a cominciare dalla notazione $F_1/(p_1(x))$ che non ha senso. Dovresti scrivere semmai $(F_1[x])/((p_1(x)))$. Sai cos'è un quoziente di un anello? (Sospetto di no).

Inoltre $phi$ non è determinato dal valore che assume in \( \displaystyle \sqrt[3]{5} \) , dato che \( \displaystyle \sqrt[3]{5} \) appartiene a $F_1$.

In ogni caso come vedi l'isomorfismo lo hai scelto tu (e non è unico).

Sia $F$ un campo e sia $p(x)$ un polinomio ivi irriducibile ,siano $alpha_1$ ed $alpha_2$ due radici distinte ed $F[alpha_1]$ ed $F[alpha_2]$ le due rispettive estensioni distinte , un isomorfismo $phi$ porterà l'elemento generico di $F[alpha_1]$ , $phi(a_0+a_1alpha_1+a_2alpha_1^2+...+a_(n-1)alpha_1^(n-1))$ $=$ $a_0+a_1alpha_2+a_2alpha_2^2+....+a_(n-1)alpha_2^(n-1)$ giusto?
Sia ora $g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_ix^i$ un polinomio a coefficienti in $F[alpha_1]$ ed ivi irriducibile $(F[x_1](x))//g(x)$ sara un campo , giusto?
Se considero il polinomio $t(x)=phi(b_0)+phi(b_1)x+phi(b_2)x^2+....phi(b_i)^i$
$(F[x_1](x))//g(x)$ ed $(F[x_2](x))//t(x)$ non risultano isomorfi?

Risultano isomorfi sì. Ma la dimostrazione va scritta, altrimenti avrai sempre bisogno di qualcuno che ti conferma le affermazioni. Capisci il problema?

La tua non voglia di studiare (e scrivere) le dimostrazioni è il vero problema da affrontare.

Ti ringrazio per le esaustive risposte , non è che non abbia letto le dimostrazioni nei testi, ultimamente mi sono procurato le fotocopie dell'Herstein, solo che trovo le dimostrazioni molto formali e farraginose, non presentano l'idea che c'è
dietro, e questo mi spiazza, probabilmente sono limitato nell'apprendimento, ma ti assicuro che provo molto interesse per la materia , appena ho tempo posto la dimostrazione dell'unicita del campo di spezzamento, in cui trovo molta difficoltà, perché è fondamentale per il proseguo.

L'Herstein non è un buon libro per un principiante. Ti suggerisco l'ottimo libro "Basic Algebra I" di N. Jacobson.