Costruzione del campo di spezzamento

Appena posso mi procuro il testo che hai citato.
Ricapitolando, Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, siano $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo $F_1F[x]//p(x)~~F[alpha]~~F[beta]$ indichiamo con
$F_1=F[alpha]$ ed $F_2=F[beta]$ l'isomorfismo $phi$ che lascia fisso il campo $F$ tale che $phi(alpha)=beta$
può essere esteso ad i campi $(F_1[x])//(p_1^(n-1)(x))$ ed $(F_2[x])//(p^(n-2)(x))$ , supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili, avremo quindi $(F_1[x])//(p_1(x))~~F_2//(p_2(x)$.
Preso ad esempio un polinomio di terzo grado del tipo $p(x)=x^3-k$ con $k$ $in$ $Q$ , ed indicato con $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo :
$p(x)=(x-alpha)(x^2-alphax+alpha^2)$ ed
$p(x)= (x-beta)(x^2-betax+beta^2)$
avendo che $phi(alpha)=beta$ possiamo scrivere
$p(x)=(x-beta)(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$ da qui si ha
$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$
Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?

Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?

Assolutamente no, tu hai fatto una supposizione cruciale, questa:

supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili

Senza questa ipotesi quello che dici qui

$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$

è falso.

E comunque ti faccio osservare che continui a fare affermazioni senza dimostrare niente. Non è così che funziona la matematica.

D'accordo, però posso dire che se i due polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ se non sono irriducibili hanno un fattore irriducibile? Giusto?

Sì lo puoi dire.

Sia $F$ un campo ed, $p(x)$ un polinomio ivi riducibile, con $p(x)=s(x)t(x)$ ed $s(x)$ , $t(x)$ irriducibili in $F$
sia $alpha$ una radice di $s(x)$ ed $beta$ una radice di $t(x)$, posso considerare le estensioni di campo
$F[alpha]~~F//(s(x))=F_1$ ed $F[beta]~~F//((t(x))=F_2$
ed l'estensione di campo
$F_1//((t(x))~~F_1[beta]$ in quanto $t(x)$ irriducibile in $F_1$, risulterà così $F_1[beta]$ essere campo di spezzamento di $p(x)$ come lo sara analogamente $F_2[alpha]$, mi sbaglio?

Ti sbagli.

Hai ragione sto facendo confusione!!
Sia $F$ è un campo , un polinomio$p(x)$ a coefficienti in $F$ si dice irriducibile se non si puo decomporre nel prodotto di due o piu polinomio , non ridotti a delle costanti, aventi anch'essi coefficienti in $F$.
Questa definizione va bene?
Sia $F$ un campo $p(x)$ un polinomi ivi riducibile , sia inoltre $p(x)=p_1(x)p_2(x)....p_i(x)$ con $p_1(x),p_2(x),...,p_i(x)$ irriducibili,
Sia $alpha_1$ una radice del polinomio $p_1(x)$, $F[alpha_1]=F_1$ risulterà ovviamente un campo,
sia $alpha_2$ una radice del polinomio $p_2(x)$
il polinomio $p_2(x)$ risulterà irriducibile anche in $F_1$?

No. Ma poi scusami eh, quando si formula una domanda è buona norma, per sé stessi e per rispetto degli altri, provare a formulare qualche esempio il più semplice possibile. Da come scrivi sembra che tu formuli delle domande a caso e le posti qua, senza pensarci nemmeno un minuto. Ti rendi conto del fatto che così facendo non imparerai mai niente, vero?

Hai ragione! Faccio confusione!

Su Wikipedia leggevo la seguente argomentazione, sia $K$ un campo $p(x)$ un polinomio a coefficienti in tale campo che si fattorizzi in $K[x]$ , con $p(x)=p_1(x)•p_2(x)•......•p_n(x)$ allora l'anello quoziente
$K_2[x]~~K[x]//(p(x))$ è un campo che contiene $K$ ed una radice di $p_1(x)$, fin qui tutto bene. Poi però afferma il procedimento può essere ripetuto ai fattori$p_2(x),p_3(x),....p_n(x)$, e termina dal momento che il grado di $p(x)$ è finito, il campo che si ottiene cosi è esattamente un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$, questo mi sembra palesemente errato, perché preso un $K_(i-1)[x]//(p_i(x))$, il polinomio $p_i(x)$ non è detto che sia irriducibile in $K_(i-1)$, se prendo invece ad esempio il polinomio $p(x)=(x^2-2)(x^2-3)$ a coefficienti in $QQ$, indicati con $p_1(x)=(x^2-2)$ ed $p_2(x)=(x^2-3)$, avremo che $QQ[x]//(p_1(x))~~QQ[sqrt2]=QQ_1$ ed $E=QQ_1//(p_2(x))$ campo di spezzamento, avente base come spazio vettoriale ${a_0+a_1sqrt2+a_2sqrt3+a_3sqrt2sqrt3}$ , proprio perche in questo particolare caso posso facilmente stabilire che $p_2(x)=(x^2-3)$ è irriducibile in $QQ_1$, inoltre si osserva facilmente che se inizio il procedimento dal polinnomio $p_2(x)$ ottengo il campo di spezzamento $E'~~E$ secondo l'isomorfismo $phi$ che porta $phi(sqrt2)=sqrt3$ ed $phi(sqrt3)=sqrt2$, potreste darmi qualche delucidazioni a riguardo?
Scusatemi se faccio confusione!