Legame tra quadruple pitagoriche , numeri primi e fattorizzazione
vi riporto parte del contenuto di
https://www.academia.edu/115482663/Pyth ... torizazion
Date le quaterne pitagoriche di questo tipo
$a^2+b^2+c^2=d^2$
$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
$a=24*m*n+6*m+6*n+1$
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
$c=2*(3*m+n+1)$
$m,n,a,b,c,d$ in $Z$
Questo tipo di quadruple pitagoriche hanno la caratteristica:
per un primo $p$ nella forma $p=4*v+1$ esistono solo due quadruple pitagoriche
$(3*(3*p-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$
mentre per un primo $p$ nella forma $p=4*w+3$ esistono solo due quadruple pitagoriche
$(3*(3*(-p)-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$
ed è facile individuare quali sono le quadruple
in quanto
$p=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel primo caso quindi le due quaterne saranno $(m=0 ; n=v)$ ed $(m=v ; n=0)$
e
$-p=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel secondo caso quindi le due quaterne saranno $(m=0 ; n=-1-w)$ ed $(m=-1-w ; n=0)$
Esempio per $p=5$
$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=3*(3*p-3)/6+1$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$p=5$
,
$n=0$
si avrà $7^2+56^2+8^2=57^2$
$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=3*(3*p-3)/6+1$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$p=5$
,
$m=0$
si avrà $7^2+(-4)^2+4^2=9^2$
Queste sono le uniche due quadruple ma come vediamo che non ce ne sono altre?
Avete qualche idea?
Analogamente se consideriamo p fattorizzabile e lo chiamiamo N
per $N$ nella forma $N=4*v+1$ ci saranno tante quadruple pitagoriche di questo tipo quanti sono i fattori
$(3*(3*N-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$
mentre per $N$ nella forma $N=4*w+3$ ci saranno tante quadruple pitagoriche di questo tipo quanti sono i fattori
$(3*(3*(-N)-3)/6+1)^2+b^2+c^2=d^2$
$N=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel primo caso ci saranno due soluzioni banali $(m=0 ; n=v)$ e $(m=v ; n=0)$ ed altre
e
$-N=(4*m+1)*(4*n+1)$ nel secondo caso ci saranno due soluzioni banali $(m=0 ; n=-1-w)$ e $(m=-1-w ; n=0)$ ed altre
Esempio $N=365$
$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=(3*(3*N-3)/6+1)$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$N=365$
,
$n=1$
quindi avremo $547^2+11984^2+112^2=11997^2$
$d=36*m^2+18*m+4*n^2+2*n+3$
,
$a=24*m*n+6*m+6*n+1=(3*(3*N-3)/6+1)$
,
$b=2*(3*m+n+1)*(6*m-2*n+1)$
,
$c=2*(3*m+n+1)$
,
$N=365$
,
$n=18$
quindi avremo $547^2+(-1276)^2+44^2=1389^2$
in più ci sono le due soluzioni banali $n=0$ ed $m=0$
Come facciamo a trovare almeno una soluzione non banale?
Avete qualche idea?