21/02/2024, 21:17
tu vuoi dimostrare che
(*) (∀xP(x))⇒(∀xQ(x))
e INVECE di dimostrare questo, scegli di dimostrare la seguente
(**) ∀x(P(x)⇒Q(x))
Si chiedeva come rielaborare ∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x)) (assumendo però che R(x) sia sempre falsa) e trovare che equivale a ∀x,(P(x)⇒(Q(x)), il suggerimento è stato: "semplicemente perché se R(x) è sempre falsa allora (P(x)and¬Q(x))⇒R(x) è equivalente a ¬(P(x)and¬Q(x)) (per vederlo basta fare una tabella di verità)".
Vorrei dimostrare che una relazione simmetrica e antisimmetrica è una uguaglianza dati a e b in relazione R tra loro. Cioè questo: [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
tramite logica proposizionale/tavola.
In effetti in tal caso, come scritto nella risposta, si può fare una tavola di verità tramite:
"la tua può più semplicemente essere riformulata (rinominando opportunamente le parti) come
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z)
Questa è una tautologia"
21/02/2024, 21:47
Dopo aver scritto questo, parti con un argomento involuto pieno di formule in cui praticamente cerchi di fare una "dimostrazione per riformulazione", cioè riformuli (e poi riformuli ancora e ancora) quello che vuoi dimostrare sperando che si semplifichi. Questa è una pessima idea. Ripeto di nuovo che le tabelle di verità non bastano per fare dimostrazioni.pistacios ha scritto:nel punto D) io voglio mostrare logicamente (ho capito che di solito non funziona ma qui in effetti anche solo con la tavola di verità dovrebbe riuscire) che
$[ (∀a,b,(aRb => bRa)) and ( ∀a,b,((aRb and bRa) => a=b)) ] => ∀a,b,(aRb => a=b)$
In realtà questo è impreciso, o meglio va bene ma devi dire che stai anche usando che A(x') è vera per ipotesi (perché A(x) è vera per ogni x, per ipotesi). Per il resto, va bene.A(x')=>B(x') vera, ossia A(x') vera e B(x') vera.
22/02/2024, 13:43
22/02/2024, 14:37
Per prima cosa, non è "scritta in modo più preciso", la seconda cosa che hai scritto non è una riformulazione della prima e nemmeno una formulazione più precisa, è semplicemente un'altra proposizione.pistacios ha scritto:Quello che vorrei fare è solo capire perché in questo specifico caso la:
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) [*]
che scritta in modo più preciso è:
[(∀a,b,(aRb⇒bRa))and(∀a,b,((aRbandbRa)⇒a=b))]⇒∀a,b,(aRb⇒a=b)
può essere resa come:
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) (che essendo tautologia rende vero [*])
stop e mi mordo la lingua , non voglio aggiungere altro perché la domanda è solo questa.
Quelle due scritture (quelle che ho chiamato (1) e (2) sopra) NON sono equivalenti. Più precisamente, come ho detto sopra (2) implica (1), tuttavia (1) non implica (2). Prova a pensare a questo: secondo te perché (1) non implica (2)?Unica nota: come dicevo mi "incasina" il fatto che: ∀a,b,(aRb⇒bRa) non può essere scritta come X=>Y, per tutti i discorsi fatti, allora perché quelle due scritture sono equivalenti, vorrei solo dimostrarlo.
Qui ti giuro che non ti seguo: dato un qualsiasi $x$, siccome $R(x)$ è sempre falsa, le due scritturedata $∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x))$ (assumendo però che R(x) sia sempre falsa) trovare che equivale a $∀x,(P(x)⇒(Q(x))$, il suggerimento è stato: "semplicemente perché se R(x) è sempre falsa allora (P(x)and¬Q(x))⇒R(x) è equivalente a ¬(P(x)and¬Q(x)) (per vederlo basta fare una tabella di verità)".
Domanda, anche qui molto breve: perché (ossia come si mostra) che "per vederlo basta fare una tabella di verità"? Dovrei dimostrare una uguaglianza delle due scritture.
22/02/2024, 15:25
ok il discorso mi è chiaro, devo però capire come dimostrare quella cosetta (mi viene meno naturale dell'altra dim. che ho fatto) e capire perché 1 non implica 2. Ora ci rifletto.Perché puoi fare questo? Perché (2) implica (1) (prova a dimostrare che (2) implica (1)).
...
Quelle due scritture (quelle che ho chiamato (1) e (2) sopra) NON sono equivalenti. Più precisamente, come ho detto sopra (2) implica (1), tuttavia (1) non implica (2). Prova a pensare a questo: secondo te perché (1) non implica (2)?
mi crea confusione perché mi ricorda la questione $forallx,(P(x)=>Q(x))$ che sappiamo non poter rendere come proposizione P e Q e costruire la tavola $P=>Q$ [*].Osserva che, ripeto, dimostri (2) fissando a,b qualsiasi e POI scrivendo una tavola logica. Non capisco perché questo ti crei confusione.
come dovrei gestire la riformulazione del teorema: ∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x)), con R sempre falsa? Non riesco a vedere perche' sto dimostrando la solita ∀x,(P(x)⇒(Q(x)).
e io non ho capito come giungere a quella tavola di verità avendo i quantificatori tra i piedi, che come avrai capito fatico a gestire ancora.Beh semplicemente perché se $R(x)$ è sempre falsa allora $(P(x) and ¬Q(x))=>R(x)$ è equivalente a $¬ (P(x) and ¬Q(x))$ (per vederlo basta fare una tabella di verità).
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8608869
22/02/2024, 15:28
Dopo aver fissato un $x$ qualsiasi, la puoi rendere sì come implicazione normale. Non capisco quale sia il problema.pistacios ha scritto:mi crea confusione perché mi ricorda la questione $forallx,(P(x)=>Q(x))$ che sappiamo non poter rendere come proposizione P e Q e costruire la tavola $P=>Q$
22/02/2024, 15:58
Ma forse ho travisato una tua risposta allora:Martino ha scritto:Dopo aver fissato un $x$ qualsiasi, la puoi rendere sì come implicazione normale.pistacios ha scritto:mi crea confusione perché mi ricorda la questione $forallx,(P(x)=>Q(x))$ che sappiamo non poter rendere come proposizione P e Q e costruire la tavola $P=>Q$
avevo interpretato il "no non puoi" come no.Martino ha scritto:pistacios ha scritto:$forallx, (P(x)=>Q(x))$ qui posso scrivere $P=>Q$ poiché quantificati.
No, non puoi. Osserva come prima cosa che in questa frase che hai scritto non hai specificato cosa intendi per $P$ e per $Q$. Cercando di interpretare il tuo pensiero, tu chiami $P$ la proposizione "$forall x, P(x)$". Giusto? E analogamente chiami $Q$ la proposizione "$forall x, Q(x)$". Dando questo significato ai simboli, ti sorprenderà sapere che le due proposizioni seguenti
(1) $(forall x, P(x)) => (forall x, Q(x))$
(2) $forall x, (P(x) => Q(x))$
NON sono equivalenti. E nota che la (1) si può scrivere appunto come $P => Q$ (dando il significato di cui sopra ai simboli).
22/02/2024, 17:26
Non è questo che ho detto. Ho detto che data la proposizionepistacios ha scritto:Mi pare fin qui di aver capito che $∀x,(P(x)⇒Q(x))$ non equivale, dopo aver quantificato x, a $P⇒Q$
Lo vedi? Anche qui scrivi $P$ e $Q$, ma cosa intendi con $P$ e $Q$? Se intendi che $P$ è uguale a $AA x P(x)$ e $Q$ è uguale a $AA x Q(x)$ allora sì, quello che hai scritto è vero. Ma capisci che non posso continuare a tirare a indovinare? Devi dirmi tu cosa intendi con i simboli che scrivi.Detto ciò io so che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ implica $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))$ (dimostrato), quindi posso dire che $∀x(P(x)⇒Q(x))$ => $P=>Q$
E siamo tornati al punto in cui sposti i quantificatori, li metti a caso di qua e di là, non lo puoi fare. E non imparerai ad usarli in un giorno. Devi seguire un corso di logica, parlare con qualcuno, è impossibile spiegarsi solo scrivendo.Io quindi mi ritrovo questo: (2) ∀a,b, [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) [**] che mi suggerisci avere tavola logica [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) che invece a me sembra essere equivalente a quella di:
[ (∀a,b, aRb => ∀a,b, bRa) and ( ∀a,b, (aRb and bRa) => ∀a,b, a=b) ] => (∀a,b, aRb => ∀a,b, a=b) che non è [**] (per quanto scritto proprio qui sopra).
22/02/2024, 17:40
22/02/2024, 18:17
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