Dubbio sui quantificatori

[Martino]

Non ti seguo più. In ogni caso siamo proprio fuori tema, per favore apri un nuovo argomento grazie!

[Mephlip]

Se ganfolfo_m, pistacios e Martino sono d'accordo, posso separare il post in due e si può continuare sul post separato relativo a questo argomento (lo metterei in algebra, però, essendo più vicino alla logica).

[Martino]

Certo!

[pistacios]

Se ganfolfo_m, pistacios e Martino sono d'accordo, posso separare il post in due e si può continuare sul post separato relativo a questo argomento (lo metterei in algebra, però, essendo più vicino alla logica).

Se ne avessi voglia ti ringrazierei molto, è che questa discussione mi ha preso e non ho resistito dall'intervenire. Inizialmente non pensavo che avrei fatto altre domande ma ragionandoci mi sono venuti dubbi. Però, per non darti lavoro in più, se vuoi posso aprire semplicemente un'altra discussione da qui in poi o se vuoi pui separarla da qui in poi... dimmi tu @mephlip.

Di fatto la domanda che mi ponevo era piuttosto semplice:

Ho notato che la struttura di questa dimostrazione:

$forallcinA,[(∃a,bin A : c=ab)=>(c=ab=1)]$ => $foralla,forallb,[(a in A, b in A) => (ab=1)]$

è pressoché questa $(A→B)→(C→B)$ (gli oggetti sono quantificati quindi la dipendenza da x "sparisce" e posso scrivere anziché $A(x)$ scrivere $A$ e così la proposizione $B(x)$ diventa $B$)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

E' la riscrittura "Logica" di questo pezzo alla fin fine
(2)=>(3)
assumo a e b qualsiasi, dunque essendo ∃ meno restrittiva so che "esistono a e b". Assumo quindi ab=c, questo verifica l'antecedente della proposizione (2) quindi proprio per la (2) che ho come ipotesi questo implica che c=ab=1 e questo dimostra (3) cvd

d'altra parte sussiste l'equivalenza logica $(A→B)→(C→B) <=> ((A→B)∧C)→B$.
Tuttavia ((A→B)∧C)→B (a) ovviamente non è una proposizione sempre vera e quindi non è ancora la dimostrazione.

Da qui mi sorgeva dubbio, io è come se fossi riuscito a portarmi a scrivere la (a) in questa veste: $((A→B)∧A)→B$ (b), questa infatti è sempre vera e sarebbe la dimostrazione che auspicherei fare. In tal caso è come se avessi reso A=C, e mi pare di individuare che faccio questo passaggio nel momento in cui mostro che avere "per ogni a e b" fanno si che "esistano a e b" (nello spoiler).

Tuttavia, mi veniva da pensare la scrittura di (a) nel mio caso come: $((A→B)∧(C→A))→B$ (c) ma ho fatto la tavola ed è falsa. Quindi non capisco appieno sotto-sotto cosa succeda.
E' proprio come se fossi riuscito a porre C=A in (b) (solo così avrei una tavola che dà vero), eppure a me sembrava di riuscire a dimostrare che C→A (come scrivo in c) (io infatti nello spoiler sfrutto il fatto che $forall a,b$ implica che esistono $a,b$).

Quindi mi chiedevo semplicemente a logica come si uscisse da questo pantano.

[Mephlip]

Ma no, tranquillo, che ci vuole. Ho fatto, spero di non aver tagliato cose che servivano (o, al contrario, di aver messo cose che non servivano) o aver fatto altri casini .

[gandolfo_m]

@Mephlip
Grazie anche da parte mia, molto meglio così. D'altra parte era partita qui la prima domanda poi l'avevo spostata di là.

@pistacios
In realtà nessun problema per il tuo intervento, anzi, sono contento la discussione sia servita ad altri. Inoltre la tua ultima domanda mi sembra pertinente e leggerò anche io le risposte per impararne. Quindi ben venga, per fortuna c'è discussione in questo forum altrimenti sarebbe un risolutore di esercizi one-shot!

[Martino]

Io vedo molta confusione, a cominciare dal fatto che non puoi scrivere $A$ al posto di $A(x)$ solo perché appare "per ogni $x$" da qualche parte.

$forallcinA,[(∃a,bin A : c=ab)=>(c=ab=1)]$ => $foralla,forallb,[(a in A, b in A) => (ab=1)]$

Quello che scrivi dopo è difficilissimo per me da interpretare e quindi mi limito a dirti questo: se cominci dicendo "per ogni $a,b$" e poi quello che segue dipende solo dal prodotto $ab$ allora è come se avessi cominciato dicendo "per ogni $c$ tale che esistono $a,b$ tali che $c=ab$" con il seguito tutto in funzione solo di $c$ (e non di $a,b$). Potevi anche dire "per ogni $c$ che è prodotto di due elementi di $A$" e andava bene.

[pistacios]

Scusami, è che in logica non sono molto forte e quando cerco di formalizzare faccio più male che bene, però proprio perché è un mio tallone d'Achille ci casco spesso.

Vedo se riesco a esprimermi in modo più dignitoso .

Prima di tutto volevo chiarire una cosa su:

Io vedo molta confusione, a cominciare dal fatto che non puoi scrivere A al posto di A(x) solo perché appare "per ogni x" da qualche parte.

Vorrei capire se ho compreso l'errore, faccio un esempio:
$forallx, (P(x)=>Q(x))$ qui posso scrivere $P=>Q$ poiché quantificati.
Il problema è che se ho qualcosa del tipo $foralla,(forallx, P(x,a))=>Q(a))$ [*] in questo caso non posso ridurre a P=>Q proprio perché x non è quantificata "ovunque" (e questo è simile al caso che abbiamo).
Spero sia corretto detto così.



Per il resto la mia idea era qualcosa del genere:
$∀c∈A,[(∃a,b∈A:c=ab)⇒(c=ab=1)]$ => $∀a,∀b,[(a∈A,b∈A)⇒(ab=1)]$

Furbescamente volevo fare un ragionamento così:
$(∃a,b∈A:c=ab)=A$
$(c=ab=1)=B$
$(a∈A,b∈A)=C$
$(ab=1)=D$

E quindi sfruttare i rapporti tra le proposizioni semplicemente scrivendo $(A→B)→(C→B)$, banalmente questo facevo, e poi ridurre il tutto sfruttando la logica elementare
Però ipotizzo e chiedo conferma che forse in tal caso non funziona proprio perché è qualcosa di simile al caso [*]

[Martino]

$forallx, (P(x)=>Q(x))$ qui posso scrivere $P=>Q$ poiché quantificati.

No, non puoi. Osserva come prima cosa che in questa frase che hai scritto non hai specificato cosa intendi per $P$ e per $Q$. Cercando di interpretare il tuo pensiero, tu chiami $P$ la proposizione "$forall x, P(x)$". Giusto? E analogamente chiami $Q$ la proposizione "$forall x, Q(x)$". Dando questo significato ai simboli, ti sorprenderà sapere che le due proposizioni seguenti

(1) $(forall x, P(x)) => (forall x, Q(x))$
(2) $forall x, (P(x) => Q(x))$

NON sono equivalenti. E nota che la (1) si può scrivere appunto come $P => Q$ (dando il significato di cui sopra ai simboli). Per convincertene prova a farti degli esempi. Se $P(x)$ significa "$x$ è un gatto" e $Q(x)$ significa "$x$ è nero" allora la (1) diventa

(1') Se ogni $x$ è un gatto allora ogni $x$ è nero.

Invece la (2) diventa

(2') Per ogni $x$, se $x$ è un gatto allora $x$ è nero.

In altre parole la (1') garantisce che ogni elemento è nero solo se ogni elemento è un gatto. Invece la (2') ti dice che ogni elemento a cui capiti di essere un gatto è per forza nero. Quindi per esempio se hai 3 gatti bianchi e un cane bianco, e l'insieme in cui prendi le $x$ è dato da questi 4 animali, allora la (1') è vera (perché non ogni $x$ è un gatto) mentre la (2') è falsa (perché non ogni gatto è nero).

Furbescamente volevo fare un ragionamento così:
$(∃a,b∈A:c=ab)=A$
$(c=ab=1)=B$
$(a∈A,b∈A)=C$
$(ab=1)=D$

E quindi sfruttare i rapporti tra le proposizioni semplicemente scrivendo $(A→B)→(C→B)$, banalmente questo facevo, e poi ridurre il tutto sfruttando la logica elementare
Però ipotizzo e chiedo conferma che forse in tal caso non funziona proprio perché è qualcosa di simile al caso [*]

La mia impressione è che il tuo approccio generale sia, come prima cosa, di liberarti dei quantificatori (che a quanto ho capito ti stanno abbastanza antipatici) e poi cercare di costruire delle tabelle di verità. Il problema è che questo non lo puoi fare. I quantificatori sono parte integrante delle proposizioni e non li puoi eliminare (l'esempio dei gatti neri di cui sopra ti dovrebbe chiarire questo punto). Le tabelle di verità non bastano da sole a fare dimostrazioni. Il caso di cui parli nel quote qui sopra è molto confuso perché in $A$ le variabili $a,b$ sono mute (perché quantificate all'interno di $A$) mentre in $B$ hai $a,b$ non quantificate e quindi al posto di $B$ dovresti scrivere $B(a,b)$. Analogamente $C$ dovrebbe essere $C(a,b)$ e $D$ dovrebbe essere $D(a,b)$. In particolare, dire $A => B(a,b)$ è strano e a tutti gli effetti scorretto (senza contare il fatto che NON è quello che vuoi dire) perché $A$ non dipende da $a,b$.

[pistacios]

Illuminante :O, mi sa che hai proprio compreso ogni singolo dubbio.

Partendo dal fondo della tua risposta, si, la mia idea era sbarazzarmi in modo molto poco furbo dei quantificatori come hai detto tu pensando di semplificarli in semplici P Q R ecc. Ho proprio capito il problema in cui incorrevo.

In secondo luogo hai capito anche il mio altro erroraccio. Io vedevo le due scritture (1) $(∀x,P(x))⇒(∀x,Q(x))$, (2) $∀x,(P(x)⇒Q(x))$ come identiche e quindi le rendevo come $P=>Q$ e chi si è visto si è visto, invece questa scrittura vale solo per la (1).


Tra l'altro, per capire meglio, dato che la x identica mi confondeva, è corretto anche scriverla così la 1? $(∀x,P(x))⇒(∀y,Q(y))$, con x e y prese nello stesso insieme. Tanto essendo quantificate non dovrebbero darci problemi comunque le chiami. Mentre io vedendo sempre x dicevo x è gatto dall'inizio alla fine, non riflettendo a dovere che il per ogni è in una parentesi diversa di volta in volta. Con le y lo vedevo meglio ma è identico.

Detto cio,
In generale quindi quando troverò qualcosa tipo: $((A(a,b)=>B(a,b)) and (C(a,b)=>D(a,b))=>(E(a,b)=>D(a,b))$ se viene poi riscritto così¹: $((A=>B)and(C=>D))=>(E=>D)$ devo immaginarlo come:
$(foralla,b,(A(a,b)=>B(a,b)) and (foralla,b(C(a,b)=>D(a,b))))=>(foralla,b(E(a,b)=>D(a,b)))$
io invece lo leggevo come un $forall$ davanti a tutto. Ecco perché non mi tornavano le cose.

Mi sembra fin qui ora di non aver finalmente detto scemate.


Se quindi è corretto sopra mi restano però solo due dubbi per chiudere:

$(forallx(A(x)=>B(x))=>(forally(C(y)=>D(y))$ se non ricordo male l'ho trovato scritto come (cioè <=>)
$forally{[forallx,(A(x)=>B(x)and(C(y)]=>[D(y)]}$
che sembra molto la regoletta (A=>B) e (C=>D) <=> (A=>B e C) =>D; sebbene prima non mi destasse grandi sospetti con il mio metodo raffazzonato di buttare sotto alle semplici lettere i quantificatori, ora mi pare invece più curioso, perché il $forally$ finisce "davanti a tutto", mentre prima era attribuito a C. Non capisco appieno perché si possa fare qui di spostare la "lettera" C come non fosse quantificata. Cioè il mio trucchetto funziona per puro caso?



Infine qui
$∀c∈A,[(∃a,b∈A:c=ab)⇒(c=ab=1)] => ∀a,∀b,[(a∈A,b∈A)⇒(ab=1)]$
mi hai fatto accorgere che non ho quantificato a,b ma mi chiedo come farlo in modo sensato, forse così?
$∀c∈A,[∃a,b∈A:((c=ab)⇒(c=ab=1))] => ∀a,∀b,[(a∈A,b∈A)⇒(ab=1)]$
ho cambiato le parentesi.


Finalmente ho messo ordine a questi concetti. Mi balenavano da un po' per la testa.

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Note

1. lo chiedo perché mi è capitato ↑