So che ti sembrerà strano dopo tutte le caSSatone che ho detto finora, ma in realtà molte cose ora le ho capite. Perché a ogni risposta tua ci ragiono per molto e molto tempo integrando con quanto ho letto (anche se non sembra proprio per le stupidaggini, ma ho letto molti documenti e dispense). Quindi questi dubbi erano già frutto di una elaborazione personale, seppur sbagliata.
Però insomma, per ricapitolare:
Ridotta all'osso, la tua confusione è dovuta al fatto che pensi che una "proposizione" sia un enunciato a cui puoi attribuire ciascuno dei due valori di verità
hai capito benissimo e questa era una cosa che in effetti non capito e la "prima categoria" di errori nasceva da questo mio malinteso. Io immaginavo che P=>Q dovesse avere sempre 4 valori perché partivo proprio da quel presupposto errato che menzioni.
Continui a scrivere cose tipo "A diventa B" (dove A e B sono proposizioni) ma la verità, in generale, è che A non diventa B, semplicemente invece di dimostrare A scegli di dimostrare B.
a scanso di equivoci, questo in realtà l'avevo già capito nel messaggio prima del tuo ultimo (non per merito mio, ma perché semplicemente me l'hai spiegato molto chiaramente), ma era un errore che facevo in principio. Nell'ultimo messaggio l'avevo riscritto solo per dire "prima pensavo funzionasse per questo motivo ma ora ho capito che non è così ma in certi punti non capisco il reale ragionamento"
Detto ciò per riuscire a chiudere gli ultimi argomenti rimasti (ma che di fatto sono figli dello stesso) dei tanti aperti inizialmente:
Questa cosa è chiarissima in me:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
tu vuoi dimostrare che
(*) (∀xP(x))⇒(∀xQ(x))
e INVECE di dimostrare questo, scegli di dimostrare la seguente
(**) ∀x(P(x)⇒Q(x))
ma vorrei riuscire ad applicarla
1) nel punto D) io voglio mostrare logicamente (ho capito che di solito non funziona ma qui in effetti anche solo con la tavola di verità dovrebbe riuscire) che
$[ (∀a,b,(aRb => bRa)) and ( ∀a,b,((aRb and bRa) => a=b)) ] => ∀a,b,(aRb => a=b)$ che schematizzo con $[ I and II ] => III$ e il suggerimento è di sfruttare la tavola di verità di
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) e mostrare che è una tautologia. Mio dubbio: come mi porto allora a quella tabella? Il fatto è che se la tautologia di quella proposizione dimostra il teorema iniziale allora vuol dire che devo dimostrare che ci sia un legame tra le due, no? Proviamo:
sfruttando il tuo suggerimento che ∀x(P(x)⇒Q(x)) implica (∀xP(x))⇒(∀xQ(x)), noto che:
I = $(∀a,b,(aRb => bRa))$ => $(∀a,b,(aRb)) => (∀a,b,(bRa))$
identicamente:
II = $( ∀a,b,((aRb and bRa) => a=b))$ => $(∀a,b,(aRb and bRa)) => (∀a,b,(a=b))$
Quindi l'antecedente di quella di partenza composta da I e II implica:
=>$[(∀a,b,(aRb)) => (∀a,b,(bRa))] and [(∀a,b,(aRb and bRa)) => (∀a,b,(a=b))]$ (**)
oss: ora, dato il quantificatore presente in ogni punto sono in un caso simile a $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))$ che posso scrivere "incorporando il quantificatore": $P=>Q$
E quindi semplicemente: (**)=>[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] ma questa implica a sua volta (X => Z).
Però questo non conclude ancora perché (X => Z) vuol dire $[∀a,b,(aRb)] =>[∀a,b,(a=b)]$ e quindi come arrivo a $∀a,b,(aRb => a=b)$? Perché è quello il risultato che io voglio.
Quello che di fatto vorrei capire è il passaggio per cui [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) portandomi a
la tua può più semplicemente essere riformulata (rinominando opportunamente le parti) come
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) che è una tautologia
Dimostra l'asserto. Perché io mi blocco in quel punto che dicevo.
2) Per il punto C
C) Prendiamo la [∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x)) con R(x) sempre falsa]=[∀x,(P(x)⇒(Q(x))] (k). Nel mio modo errato di procedere l'avrei giustificata così: ∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x)) diviene (Pand¬Q)⇒F (con F false), quindi:
quando ho detto "diviene" intendevo (come spiegavo sopra) che evidenziavo il mio ragionamento errato (conscio ora che fosse errato) ma chiedevo: come si fa allora in modo corretto?
Il fatto che non riesco a sfruttare il suggerimento:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
tu vuoi dimostrare che
(*) (∀xP(x))⇒(∀xQ(x))
e INVECE di dimostrare questo, scegli di dimostrare la seguente
(**) ∀x(P(x)⇒Q(x))
Provo a spiegare dove mi incastro:
Il suggerimento dice:
"semplicemente perché se R(x) è sempre falsa allora (P(x)and¬Q(x))⇒R(x) è equivalente a ¬(P(x)and¬Q(x)) (per vederlo basta fare una tabella di verità)".
Io voglio mostrarmi che posso portarmi a quella tabellaa di verità. Quindi devo riuscire a riscrivere la parte quantificata in modo che mi crei delle proposizioni.
-$∀x,((P(x) and ¬Q(x))=>R$ (per quanto in spoiler)=> $∀x,(P(x) and ¬Q(x)) => ∀x,R(x)$ <=> (qui posso fare il giochetto di "incorporare"
1 il quantificatore nella proposizione) $P and ¬Q => R$ <=> (dato che R è sempre falsa) $P=>Q$
- Prendo ora il conseguente di (k): $∀x,(P(x)⇒(Q(x))$
=> $[forallx,P(x)] => [forall x, Q(X)]$ <=> $P=>Q$
Ora se confronto le due ho che:
$∀x,((P(x) and ¬Q(x))=>R$ =>$∀x,(P(x) and ¬Q(x)) => ∀x,R(x)$ <=> $P=>Q$ <=> $[forallx,P(x)] => [forall x, Q(X)]$
e qua mi fermo perché l'implicazione in grassetto che discende da quanto in spoiler non mi permette di tornare a $∀x,(P(x)⇒(Q(x))$ e invece ho bisogno di riuscirci per chiudere la dimostrazione. Non capisco quindi come fare.
3) Qualcosa di analogo è per il caso E): "si dimostri che ¬∀x,(P(x)⇒Q(x)) equivale ∃x,(P(x)and¬Q(x))".
$¬∀x,(P(x)⇒Q(x))$ per quanto in spoiler
implica $[¬∀x,(P(x))]⇒[¬∀x,Q(x))]$ seguendo il tuo suggerimento sui quantificatori e negazione, questo equivale a <=> $∃x,(¬P(x))=>∃x(¬Q(x))$.
ma come mi porto poi alla: $∃x,(P(x)and¬Q(x))$
Credo che per i 3 esempi l'errore non si più di concetto, ma che non ho ben capito come sfruttare i tuoi dettami per dimostrare le varie cose.
Come dicevo inizialmente il mio errore era quello che dicevi tu, cioè che sbagliavo a considerare
(*) (cioè (**) implica (*)). Quindi (*) non diventa (**)
dove precisamente io pensavo "diventassero". Ora il mio dubbio è molto più pragmaticamente che non so come concludere le due avendo capito i tuoi suggerimenti
Ripeto di nuovo: per fare dimostrazioni le tavole logiche non bastano.
Questo è un altro errore che facevo in effetti, cioè pensavo che tutto si potesse ridurre a una tavola (stile esempio D dove si riesce di fatto a ridurre a una tavola), ma quello è un caso molto raro: di solito non si usano le tavole. Però lì in effetti funziona da quanto leggevo.
Siccome ti ho fatto molte domande mi sembra giusto anche rispondere alla tua (che mi fai per aiutarmi a ragionare e imparare quindi eccola):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sembrerà strano ma appena ho letto il tuo suggerimento sopra, ieri, questa dimostrazione è la prima cosa che ho provato a svolgere e pensandola corretta non mi sono posto ulteriori dubbi, procediamo...
si vuole mostrare $∀x,(A(x)=>B(x))$=>$(∀x,A(x))=>(∀x,B(x))$
Ho pensato di procedere per assurdo e ipotizzando che questa affermazione sia falsa.
Quando una implicazione è falsa? beh quando antecedente è vero e conseguente falso. Quindi: $(∀x,A(x))$ vera ma $(∀x,B(x))$ falsa.
Ora, $(∀x,B(x))$ falsa vuol dire $(∃x,¬B(x))$ vera. Quindi esiste un $x'$ tale per cui $¬B(x')$ vera. Teniamolo da parte.
Ora mi concentro sull'antecedente $∀x,(A(x)=>B(x))$, mi accorgo che vale per ogni x, quindi vale anche specificatamente per x' scelto. Quindi: A(x')=>B(x') vera, ossia A(x') vera e B(x') vera.
Giungo così a un assurdo perché B(x') è vera, ma prima ho anche detto che ¬B(x') è vera: ASSURDO.
Fine.
Non so se ho solo fatto un casino ma mi sembra funzionare