Dubbio sui quantificatori

[Martino]

Sì (2) e (3) sono equivalenti, mentre invece la (1) non ha senso (come ti ho già detto).

[gandolfo_m]

Sì, certo, quello mi è chiarissimo (che abbia poco senso, intendo).
però dato che qui l'avevi usata (sottolinenando molte volte che fosse comunque errata)

Sono due frasi diverse e hanno significati diversi. Per esempio se nell'ambito dei numeri razionali diversi da zero dico "per ogni $a$ esiste $b$ tale che $ab=1$" questo è vero perché basta scegliere $b=1//a$. Invece se dico "per ogni $ab$, $ab=1$" questo è falso perché starebbe dicendo in qualche modo che "ogni prodotto tra due numeri è uguale a $1$" che è ovviamente falso (per esempio $2*3 = 6$ non è uguale a $1$). Comunque ripeto che scrivere "per ogni $ab$" ha logicamente pochissimo senso.

l'avevo messa solo per chiarirmi le idee, sempre molto virgolettato "equivalente" alle altre data l'insensatezza di base.


Grazie mille per il tuo tempo e aiuto. Erano cose che mi chiedevo e non sapevo proprio come aggiustare.

[pistacios]

Posso chiedervi un chiarimento sull'equivalenza della 2 e 3 di gandolfo?

Guardando "per ogni $c$ tale che $c=ab$ per qualche $a,b$ t.c. $c=1$" mi verrebbe da rileggere il pezzo: "per qualche $a,b$" come: $∃a,b$

Quindi la rilettura completa sarebbe: "per ogni $c$ tale che $c=ab$, $∃a,b$ t.c. $c=1$" (2) e non credo di capire perché equivalga a $∀a,∀b, ab=1$ (3).

Ora,

La 2 a parole la tradurrei in linguaggio naturale con: per ogni c tale che c=ab posso trovare a e b che rendano vera quella uguaglianza.
La 3 sembra invece suggerirmi che, per ogni a e per ogni b (quindi qualunque) quando moltiplicati mi danno un c(=ab).

Dove sbaglio?

[Martino]

Quindi la rilettura completa sarebbe: "per ogni $c$ tale che $c=ab$, $∃a,b$ t.c. $c=1$" (2)

No, la (2) non dice quello. La (2) dice "per ogni $c$ tale che esistono $a,b$ tali che $c=ab$, si ha $c=1$". Cioè devi togliere il "t.c.".

[pistacios]

Grazie per l'aiuto in primis.

Ho capito l'errore del t.c. di troppo però non riesco ancora a capire perché $∀a,∀b,ab=1$ (3) equivalga alla (2). Provo a spiegare dove mi crea confusione.

Dire "per ogni $c$ tale che esistono $a,b$ tali che $c=ab$, si ha $c=1$" mi viene da leggerla come: "per ogni $c$ ho la possibilità di trovare $a$ e $b$ tali che $c=ab$, dunque $c=ab=1$".
Quindi mi pare che io scelgo ogni c e poi esistono alcuni a,b ma non tutti, come invece richiede la (3).

Mentre la (3) dice $∀a,∀b,ab=1$, quindi questa facilmente intuisco che: preso un qualunque a e un qualunque b la moltiplicazione dà 1.

Nel primo caso a e b sono dati/quantificati come esistenti, nel secondo caso sono quantificati da per ogni, e questo mi confonde perché mi sembrano due concetti differenti.

Ora, come potrei fare a dimostrarmi inequivocabilmente che in realtà (2) e (3) si equivalgono? Mi spaventa molto questo mio non capire, e vorrei riuscire invece a non fare questo errore. Insomma, voglio comprendere

[pistacios]

Mi è venuta in mente una pseudo-risposta, vediamo se è valida:

Mi porto a scrivere formalmente perché mi viene più facile non commettere errori di linguaggio naturale:

$forallcinA,[(∃a,bin A : c=ab)=>(c=ab=1)]$ (2)

devo dimostrare che: <=>

$foralla,forallb,[(a in A, b in A) => (ab=1)]$ (3)

(2)=>(3)
assumo a e b qualsiasi, dunque essendo ∃ meno restrittiva so che "esistono a e b". Assumo quindi ab=c, questo verifica l'antecedente della proposizione (2) quindi proprio per la (2) che ho come ipotesi questo implica che c=ab=1 e questo dimostra (3) cvd

(3)=>(2)
assumo un qualunque c, per cui esistono a e b tali che c=ab. Dato che per la (3) per ogni a,b ho che ab=1 allora si ha che c=ab=1, che è proprio il conseguente nella (2) (questo dimostra (2)) fine.

Non mi vengono idee migliori ad ora

[Martino]

Sì quello che hai scritto nell'ultimo messaggio è giusto, a parte che hai scambiato "<=" con "=>" e dici cose come "assumo $a$ e $b$", "assumo $c$" che non hanno molto senso. Comunque è giusto.

[pistacios]

Sì, me ne ero accorto rileggendo e stavo correggendo le "freccette" che mi avevano incasinato la mente. Hai scritto mentre editavo, ora dovrebbe essere corretta (spero per chi leggerà in futuro eventualmente )

Ti ringrazio per esserti preso la briga di correggermi . Volevo porti una domanda, per migliorare lo stile, dato che vorrei imparare dai vostri/tuoi consigli. Dicevi che non ha senso scrivere "assumo" e mi chiedo: perché? da ignorante quale sono mi sembrava sensato... e soprattutto come potrei correggerlo?

grazie per avermi insegnato qualcosa

[Martino]

Invece di "assumo $x$" scriverei "dato $x$", ma solo per una questione di grammatica: per esempio non diresti mai "assumo una mela". Invece "data una mela" ha più senso.

[pistacios]

Chiaro, grazie . Hai perfettamente ragione direi .

Mi piacerebbe fare due ultime considerazioni, perché questa discussione è stata utile per pormi domande su cose cui non avevo mai fatto troppo caso. Poi giuro che chiudo l'OT non odiatemi vi prego.

Prima domanda stolta:
E comunque (almeno per me) molto interessante come l'idea che prendere "esiste a,b" e prendere per "ogni a,b" sembrassero due concetti diversissimi come dicevo nel post prima della dimostrazione: a intuito non ci ero proprio arrivato fossero la stessa cosa le due proposizioni. Invece è molto chiaro dimostrandolo. Questa cosa mi ha stupito .
Ma secondo te c'è un modo di capirlo a colpo d'occhio, più che altro lo chiedo perché "esiste" l'ho sempre visto come più restrittivo di "per ogni" e non capisco bene il motivo di fondo per cui qua siano pressoché intercambiabili, a livello di intuizione.



Poi avevo una domanda probabilmente più "intelligente"¹:
Ho notato che la struttura di questa dimostrazione:

(2)=>(3)
assumo a e b qualsiasi, dunque essendo ∃ meno restrittiva so che "esistono a e b". Assumo quindi ab=c, questo verifica l'antecedente della proposizione (2) quindi proprio per la (2) che ho come ipotesi questo implica che c=ab=1 e questo dimostra (3) cvd

è pressoché questa (tanto sono quantificati quindi $A(x),B(x)=A,B$):
$(A→B)→(C→B)$ d'altra parte io l'ho riadattata come $((A→B)∧C)→B$ Qui mi sorge un dubbio, io è come se fossi riuscito a portarmi a scrivere: $((A→B)∧A)→B$ ciò lo faccio precisamente nel passaggio in cui mostro che avere "per ogni a e b" fanno si che "esistano a e b". Inizialmente mi veniva da pensarla come: $((A→B)∧(C→A))→B$ ma ho fatto la tavola ed è falsa. Quindi non capisco appieno sotto-sotto cosa succeda. E' proprio come se fossi riuscito a porre C=A (solo così avrei una tavola che dà vero), eppure a me sembrava un C→A (cioè: $forall a,b => ∃a,b)$. Secondo te come si può spiegare questa cosa in modo formalmente corretto?

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Note

1. ma ho i miei dubbi anche qui che lo sia ↑