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Buongiorno, vi vorrei chiedere se ha senso considerare il seguente esempio di topologia cofinita.

Sia $Psi={\emptyset, S, A: S\\A \ \mbox{finito}}$ topologia cofinita su $S$.
Se considero $S=RR$ come sono fatti gli aperti $A$ di $Psi$ per cui $RR\\A$ risulti finito.

Ciao

Non si capisce bene cosa tu voglia sapere; in questa topologia i chiusi sono gli insiemi finiti, e gli aperti sono i loro complementari. Se preferisci, $A\subseteq \mathbb R$ è chiuso se e solo se esiste un polinomio $f\in \mathbb R[x]$ tale che $f(A)=\{0\}$.

ciao hydro, faccio questo ragionamento, considero la topologia $Psi$ come precedente su un generico insieme $S$, dopodiché la vorrei specializzare su $RR$, mi chiedo ha senso fare cosi, dal momento che non so come sono fatti le parti $A$ per cui i loro complementari rispetto ad $RR$ siano finiti ?

Ora non so se la tua affermazione ha risposto alla mia domanda

Di nuovo, non si capisce quale sia la domanda. Se la domanda è: "dato un insieme $X$, la collezione di tutti i sottoinsiemi con complementare finito è una topologia su $X$?", la risposta è: "sì, è vero per qualsiasi $X$ e quindi in particolare anche per $\mathbb R$".

Forse mi sono risposto, non avevo idea di come potevano essere le parti $A$ di $RR$ per cui i loro complementari risultassero finiti; ho considerato l'insieme $RR-{a}$, con $a \in RR$, il suo complementare rispetto ad $RR$ è $RR-(RR-{a})=\{a\}$ cioè è finito, giusto ? Ovviamente, se è corretto il mio ragionamento, si può generalizzare considerando le parti $RR-{a_0,a_1,...,a_n}$.


Se non sono stato chiaro a porre la domanda, fai un esempio degli aperti di $Psi$

compa90 ha scritto:Forse mi sono risposto, non avevo idea di come potevano essere le parti $A$ di $RR$ per cui i loro complementari risultassero finiti; ho considerato l'insieme $RR-{a}$, con $a \in RR$, il suo complementare rispetto ad $RR$ è $RR-(RR-{a})=\{a\}$ cioè è finito, giusto ? Ovviamente, se è corretto il mio ragionamento, si può generalizzare considerando le parti $RR-{a_0,a_1,...,a_n}$.


Se non sono stato chiaro a porre la domanda, fai un esempio degli aperti di $Psi$

Gli aperti di $\Psi$ sono i sottoinsiemi $A\subseteq \mathbb R$ tali che $\mathbb R\setminus A$ è finito. Cosa c'è che non va?

Se $RR-{a}$ è un aperto di $Psi$ in quanto il suo complementare è finito, allora non c'è nulla che non va.
Quindi è giusto ?

Il fatto che non sembri capire è che gli aperti sono molti più dei complementari di un punto...

Scusatami sto cercando di fornire un esempio, e vi sto chiedendo se l’esempio da me fornito possa essere considerato giusto.
Poi gli aperti della topologia sono di tre tipo vuoto, l’insieme stesso, e il complementare finito di una parte dell’insieme sostegno.

Scusami dove sbaglio?