Topologia naturale su $RR$

Buonasera, vi vorrei chiedere un chiarimento in merito al seguente mio problema.
Indico con $\gamma$ la topologia su $ RR$ definita come l'unione di intervalli aperti di $RR$, cioè

$\gamma:={A\ | \ A=bigcup_{i \in I}(a_i,b_i), a_i, b_i \in RR, \ \forall i \in I} $

Ho la seguente caratterizzazione

$A in \gamma <=> \forall x \in A \ \exists a,b \in RR \ : \ x \in (a,b)\subsetA.$

Devo verificare che l'insieme $\emptyset $ e tutto $ RR$ appartengono alla famiglia.
Sia $x \in \RR$ allora, esistono due numeri reali $a,b$ tali che $a<x<b$, pertanto $x in (a,b)subsetRR$, dalla caratterizzazione segue l'appartenenza.
Sempre seguendo la caratterizzazione, ho $ \emptyset \in \gamma <=> \forall x \in \emptyset \ \exists a,b \in RR \ : \ x \in (a,b)\subset\emptyset $, dal momento che l'insieme vuoto è privo di elementi, allora non esiste nessun elemento $x$ tale per cui esso risulta essere contenuto in $(a,b)$ , con $\forall a,b \in RR$

Ho due dubbi:
1. Quando affermo che esistono due numeri reali $a,b$, perché è conseguenza dell'assioma di completezza ?
2. Non sono sicuro di essere corretta


Grazie anticipatamente .
Ciao

1. Chiaramente no, è sufficiente osservare che x appartiene all'intervallo di estremi x-1 e x+1.

2. Prendi a=b. L'intervallo è vuoto.

Ciao megas_archon, ti ringrazio per avermi risposto.

In merito alla seconda, sulle dispense, viene detto:

Se $X$ è contenuto in $RR$ e $X$ non appartiene alla topologia naturale allora esiste un punto di $X$ che non verifica la condizione richiesta e quindi $X$ è non vuoto; come posso dedurre ciò, che l'insieme vuoto gli appartiene ?

Ciao