Salve ragazzi, potreste aiutarmi a chiarire alcuni dubbi e/o curiosità sugli anelli?
1) Tra le varie proprietà degli anelli si configura la seguente proposizione: Se l'anello A è unitario, allora l'elemento uno è unico. Questo implica che un anello non unitario può avere più elementi uno (intesi come elementi neutri per il prodotto) ? Però l'elemento neutro se esiste è unico, ergo un anello non unitario può ammettere elementi uno ma non sono elementi neutro rispetto al prodotto?
2)Questa è più una curiosità. Nell'anello banale $X={x}$ si ha che l'elemento neutro è sia elemento zero che uno. Con una piccola nota ho scritto che l'anello banale è anche un anello rispetto al prodotto. Ha senso come definizione?
3) In maniera analoga, in merito alle nozioni di invertibilità a sinistra e destra, si ha che in un anello non nullo lo zero non è mai invertibile, fatta eccezione per l'anello banale. Sempre come nota ho scritto che anche il gruppo ${0,1}$ fa eccezione, poiché $1+1=0$ (1 è simmetrico di se stesso). Però questo insieme non è un gruppo. Non gode dell'esistenza del simmetrico che è poi quella su cui si costruisce l'affermazione dell'invertibilità dello 0. Giusto? Allora da dove l'ho tirato fuori questo esempio?
4) Gli anelli non unitari sono gli unici che ammettono divisori dello zero?
5) un elemento regolare non è necessariamente invertibile? Ed è il motivo per cui $ZZ$ è un dominio di integrità ma non un campo. Giusto?
6) Un anello che ammette divisori dello zero, può essere dotato delle leggi di cancellabilità rispetto al prodotto? L'esistenza dei divisori dello zero non esclude la presenza di elementi regolari. Giusto?
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!