Gruppi Caratteristici

Ciao a tutti, la mia domanda è questa:

Dato $G$ gruppo, $H <= G$ si dice sottogruppo caratteristico se $H$ è l'unico sottogruppo di ordine $|H|$ di $G$.

Analogamente:

Dato $G$ gruppo, $H <= G$ si dice sottogruppo caratteristico se, $AA phi in Aut(G)$, $phi(H) = H$.

Queste due definizioni sono equivalenti, ma vorrei dimostrarlo e non ci riesco.
In realtà sono riuscito solo a dimostrare che la prima implica la seconda, non il viceversa.

Qualcuno può suggerirmi? Grazie

Difficilmente sarà equivalente, perché la prima definizione ha senso quando l'ordine di $H$ è finito, mentre la seconda (che è la definizione) ha senso sempre. Forse vuoi dire che se $G$ ha un unico sottogruppo $H$ di ordine $n$ allora è caratteristico? Oppure che se $G$ ha un unico sottogruppo di indice $n$ allora è caratteristico? Entrambe le cose sono vere...

Queste due definizioni sono equivalenti

Non sono equivalenti. Penso che il controesempio più piccolo sia $G=C_4 xx C_2$, dove $C_n$ è un gruppo ciclico di ordine $n$ e $xx$ indica il prodotto diretto. Infatti il sottogruppo di $G$ generato dagli elementi di ordine $2$ è $C_2 xx C_2$ ed è caratteristico (rispetto alla seconda definizione che riporti, che è la definizione corretta) perché un automorfismo manda un elemento di ordine $2$ in un elemento di ordine $2$. D'altra parte $C_2 xx C_2$ non è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $4$, un altro sottogruppo di ordine $4$ è $C_4 xx 1$.

Difficilmente sarà equivalente, perché la prima definizione ha senso quando l'ordine di $H$ è finito, mentre la seconda (che è la definizione) ha senso sempre. Forse vuoi dire che se $G$ ha un unico sottogruppo $H$ di ordine $n$ allora è caratteristico? Oppure che se $G$ ha un unico sottogruppo di indice $n$ allora è caratteristico? Entrambe le cose sono vere...

in realtà intendevo esattamente quello che ho scritto, con la specificazione ulteriore che $G$ sia di ordine finito

Queste due definizioni sono equivalenti

Non sono equivalenti. Penso che il controesempio più piccolo sia $ G=C_4 xx C_2 $, dove $ C_n $ è un gruppo ciclico di ordine $ n $ e $ xx $ indica il prodotto diretto. Infatti il sottogruppo di $ G $ generato dagli elementi di ordine $ 2 $ è $ C_2 xx C_2 $ ed è caratteristico (rispetto alla seconda definizione che riporti, che è la definizione corretta) perché un automorfismo manda un elemento di ordine $ 2 $ in un elemento di ordine $ 2 $. D'altra parte $ C_2 xx C_2 $ non è l'unico sottogruppo di $ G $ di ordine $ 4 $, un altro sottogruppo di ordine $ 4 $ è $ C_4 xx 1 $.

Ma quindi nemmeno nel caso in cui $|G|$ sia finito ho che le due definizioni sono equivalenti??
Allora c'è proprio un errore in quello che ho scritto, forse ho riportato male gli appunti...
Tante grazie a entrambi, se volete aggiungere qualcosa mi farebbe piacere anche saperne di più

Esatto. Non c'è molto da dire, le due definizioni non sono equivalenti nemmeno se $G$ è finito. Prova a risalire alla fonte. Contatta l'insegnante che ha assegnato questo esercizio.