Esitenza di un gruppo abeliano con proprietà di isomorfismo

Consideriamo $xx$ il prodotto cartesiano/esterno. $EEG$ gruppo abeliano tale che $GxxZZ_(/2)$ sia isomorfo a $ZZ$?.
Allora intanto $G$ deve avere ordine infinito altrimenti non si ha sicuramente un isomorfismo. Però nonostante questo credo che non possa esistere o sbaglio?

Quale dovrebbe essere l'immagine in $ZZ$ di \((1_G,x)\) dove \(x\) è il generatore di \(\mathbb{Z}/2\)?

Quale dovrebbe essere l'immagine in $ZZ$ di \((1_G,x)\) dove \(x\) è il generatore di \(\mathbb{Z}/2\)?

con $x$ intendi semplicemente $[1]_2$ no?

Preferisco presentare i miei gruppi ciclici in maniera astratta, \(C_2=\langle x\mid x^2\rangle\).

Preferisco presentare i miei gruppi ciclici in maniera astratta, \(C_2=\langle x\mid x^2\rangle\).

Ah ok, comunque \( (1_G,x) \) dovrei mandarlo in $0$ ma allora non si può avere un isomorfismo (perchè l'omomorfismo non sarebbe iniettivo)