Campo di spezzamento

Sia $Q$ campo dei razionali e sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile,siano ${x_1,x_2,...,x_n}$ le radici distinte di tale polinomio , se il più piccolo numero di radici da aggiungere al campo base $Q$ , necessario per raggiungere il campo di spezzamento $E$ è $(n-1)$ allora $[E:Q]=n!$??

Sì. Ne abbiamo già parlato qui, non ti ricordi? Hydro ti ha scritto la dimostrazione.

Si adesso mi ricordo, avevo posto la domanda anche se intuivo che il risultato era corretto.
Se $p(x)$ è un polinomio irriducibile in $Q$, di grado $n=4$ , le cui soluzioni distinte sono ${x_1,x_2,x_3,x_4}$ e risulta $Q(x_1,x_2)=Q(x_2,x_1)=E$ con $E$ campo di spezzamento del polinomio, cosa posso dire su $[E:Q]$ e quindi sul gruppo di Galois?

Puoi dire che il gruppo di Galois non ha ordine $24$, cioè che non è $S_4$.