Campo di spezzamento

Sia $Q$ il campo dei razionali, sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, ed indichiamo con $A={x_1,x_2,...x_n}$ l'insieme delle $n$ radici distinte,se il più piccolo sottoinsieme da aggiungere a $Q$ per generare il campo di spezzamento $E$ del polinomio coincide con $A$, cosa posso dire sul gruppo di galois di tale polinomio? Dovrà avere ordine $n!$?

Sia $Q$ il campo dei razionali, sia $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, ed indichiamo con $A={x_1,x_2,...x_n}$ l'insieme delle $n$ radici distinte,se il più piccolo sottoinsieme da aggiungere a $Q$ per generare il campo di spezzamento $E$ del polinomio coincide con $A$,

Questa condizione non è mai verificata.

Perché sono sufficienti $n-1$ radici del polinomio?

Perché non è mai verificata?