Proprietà di completezza dell'insieme dei numeri reali

Salve a tutti/e, sto ripassando le basi della matematica così da poter affrontare il corso di analisi 1.
Per farlo sto studiando dal libro "Preocorso di Matematica" di Boieri.
Ad un certo punto mi imbatto nella definizione di Sezione dell'insieme R, ovvero quella coppia di insiemi non vuoti (A,B), tali per cui A U B = R, A intersecato B è un insieme vuoto, e per ogni a appartenente ad A e per ogni b appartenente a B, a <= b.
Subito dopo parla della proprietà di completezza dicendo, per ogni sezione (A,B) esiste un unico elemento l detto elemento separatore tale per cui per ogni a appartenente ad A e per ogni b appartenente a B a<=l<=b.
Ora, la mia domanda è se l'elemento separatore è uno solo, come faccio a capire se prendere l'estremo superiore di A piuttosto che quello inferiore di B? Deve per forza di cosa appartenere ad A o a B altrimenti non avremmo una sezione dato che A U B sarebbe un insieme strettamente incluso in R a quel punto.

L'estremo superiore di A e l'estremo inferiore di B devono coincidere e coincidono con l'elemento separatore, solo che l'elemento separatore può essere il massimo di A o il minimo di B, ma non entrambi.
Ti faccio un esempio
$A={x\ \|\ \x<0 vv x^2<=2}$ e $B={x\ \|\ \x>=0 ^^ x^2>2}$ in questo caso l'elemento separatore è $sqrt2$ che è contemporaneamente $Sup(A)$ e $Inf(B)$, ma è anche $Max(A)$ mentre $B$ non ha minimo.

Avrei potuto scrivere così
$A={x\ \|\ \x<0 vv x^2<2}$ e $B={x\ \|\ \x>=0 ^^ x^2>=2}$ in questo caso l'elemento separatore è sempre $sqrt2$ che continua ad essere $Sup(A)$ e $Inf(B)$, ma $A$ non ha il massimo, mentre $min(B)=sqrt2$.