03/06/2023, 18:54
03/06/2023, 19:15
03/06/2023, 19:41
03/06/2023, 21:55
Sì, per esempio il sistema dato da $xy=0$, $x(y-1)=0$ ha infinite soluzioni date da $(x,y)=(0,t)$ dove $t$ è un numero qualsiasi.pinnaciodepinnacis ha scritto:a) Ma ci sono casi di sistemi con infinite soluzioni? Per quanto riguarda nessuna credo proprio di si.
No, $x^2+y^2=1$ ha infinite soluzioni (tutti i punti di un cerchio).b) E ancora le equazioni di secondo grado a più incognite hanno massimo 2 soluzioni e non 3? ad esempio..
Qui non stai chiedendo niente, immagino che sia una premessa al punto (d) che segue.c) quando dico che una equazione di primo grado in una incognita ha infinite o nessuna soluzione intendo che potrei far "rientrarez" in questa categoria le identità 3=3, intendendola come equazione di primo grado e quindi ovviamente con soluzione per ogni x. E le equaazioni impossibili 3=4 (o almento il mio libro del liceo le faceva rientrare).
Le equazioni "3=3" e "3=4" non sono equazioni di secondo grado. Perché un'equazione sia di secondo grado, deve comparire almeno una variabile elevata al quadrato oppure due (esattamente due) variabili diverse moltiplicate tra loro. Se proprio dovessi dargli un nome, direi che le equazioni "3=3" e "3=4" sono equazioni di grado zero.d) non riesco però a capire se valga qualcosa del genere anche per quelle di secondo grado in una incognita, voglio cioè dire se consideriamo il campo complesso ho per una equazione di secodno grado due soluzioni, ma posso rivedere parimenti 3=4 come equazione di secondo grado impossibile => nessuna soluzione possibile e l'identità 3=3 come una di secondo grado con infinite soluzioni? Mi verrebbe da dire di sì, parimenti a quelle di primo grado in una incognia
Beh, per esempio se prendiamo $xy=0$, $x^2+y^2=0$ qui l'unica soluzione è $x=y=0$. E poi se prendiamo il sistema $y=x^2-1$, $y=1-x^2$, esso ha 2 soluzioni, che sono $(x,y) = (1,0),(-1,0)$. Poi se vuoi un sistema con nessuna soluzione, eccolo: $y=x^2+1$, $y=-x^2$.e) infine volevo chiedere se, le equazioni in due incognite ad esempio di secondo grado (per fissare le idee), avessero in effetti solo infinite soluzioni e mai due o nessuna. Ad esempio se assumo xy=3 o x+y=3 noto averne infinite. Non mi vengono idee per non averne o averne 2 soltanto
04/06/2023, 11:12
e)volevo chiedere se, le equazioni in due incognite ad esempio di secondo grado (per fissare le idee), avessero in effetti solo infinite soluzioni e mai due o nessuna. Ad esempio se assumo xy=3 o x+y=3 noto averne infinite. Non mi vengono idee per non averne o averne 2 soltanto
Beh, per esempio se prendiamo $xy=0$, $x^2+y^2=0$ qui l'unica soluzione è $x=y=0$. E poi se prendiamo il sistema $y=x^2-1$, $y=1-x^2$, esso ha 2 soluzioni, che sono $(x,y) = (1,0),(-1,0)$. Poi se vuoi un sistema con nessuna soluzione, eccolo: $y=x^2+1$, $y=-x^2$.
04/06/2023, 14:31
Sì è corretto.pinnaciodepinnacis ha scritto:volevo chiederti se come ragionamento per giungere alla soluzione da te esposta è corretto.
Secondo me il problema è che parli di matematica senza usare il formalismo che la rende una scienza esatta. Quando dici "equazioni di primo grado a una incognita", per quanto possa sembrare strano, sei fortemente impreciso. Una possibile formulazione di quello che vuoi dire è "equazioni del tipo $ax+b=0$ nell'incognita (reale) $x$, dove $a,b$ sono numeri reali fissati e $a ne 0$". Tale equazione ha ovviamente una sola soluzione che è $x = -b/a$.A questo punto devo riformulare la mia convinzione, ossia: le equazioni di primo grado a una incognita possono avere solo e soltanto una soluzione?
Basta capirsi: come ti dicevo, se usi il formalismo non hai questo problema. Con la definizione che ti ho scritto sopra (quella con $ax+b=0$) l'equazione $x+3=x+3$ non ha grado 1, perché equivalente a $0=0$, che non è del tipo $ax+b=0$ con $a ne 0$.Domanda bonus:
A meno che: x+3=x+3 la intendiamo di primo grado? e $x^2+3=x^2+3$ di secondo grado? Sono confuso perché ovviamente semplificandosi l'incognita tornerei a 3=3 e quindi sono di grado 1,2 oppure data la semplificazione le considero di grado zero?
Devi definire cosa intendi con equazione di secondo grado a due incognite. Scrivi per bene un'equazione generica di secondo grado in due incognite come ho fatto io sopra nel caso di grado 1 e 1 incognita ($ax+b=0$).qui mi accorgo di aver espresso malissimo la mia idea, in realtà volevo chiederti se le equazioni di II grado a due incognite (e anche più di due) potessero avere solo nessuna, due, infinite soluzioni e non una o quattro, cinque ecc.
Dalla tua risposta e) comprendo che possono avere anche una sola soluzione, ma possono averne cinque? Oppure due? Non mi è molto chiaro.
Un'equazione di primo grado a due incognite è del tipo $ax+by+c=0$ con $a,b$ entrambi non nulli. Il numero di soluzioni può essere solo infinito, perché graficamente è una retta (sto assumendo che tu stia parlando di soluzioni reali).Vorrei ampliare la domanda su quelle di primo grado a due incognite, x+y=3 ad esempio, qui ho infinite soluzioni. Ma posso averne una, nessuna, 5, infinite?
Ti ho risposto sopra, definisci con chiarezza cosa intendi con equazione di secondo grado a due incognite perché solo così riusciremo a capirci.Mentre per quelle di secondo grado a più incognite mi accorgo dalla tua risposta che posso averne una, ma senza scomodare i sistemi rimanendo sulle equazioni posso averne due o cinque o quattro? Infinite direi di sì!
04/06/2023, 19:35
Se hai un sistema di 2 equazioni di grado 2 e 2 incognite, puoi avere 1,2,3,4 oppure infinite soluzioni (prova a fare un esempio per ciascuno di questi casi). Questo non è proprio immediato da vedere ma è vero.
Credo che se hai un sistema di $n$ equazioni di gradi $d_1,...,d_n$ e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo $d_1 ... d_n$ (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.
04/06/2023, 20:39
Se hai un sistema di 2 equazioni di grado 2 e 2 incognite, puoi avere 1,2,3,4 oppure infinite soluzioni (prova a fare un esempio per ciascuno di questi casi). Questo non è proprio immediato da vedere ma è vero.pinnaciodepinnacis ha scritto:Da qui mi chiedo: ma quante possono essere? $1,2,....n=oo$ oppure c'è un massimo m, $m<n$ e poi "balzo" a infinite soluzioni? Indendo cioè dire c'è un limite al numero di soluzioni discrete ottenibili e poi balzo a infinite? Non ho ben capito come dedurlo in tal caso.
Credo che se hai un sistema di $n$ equazioni di gradi $d_1,...,d_n$ e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo $d_1 ... d_n$ (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.(Qui iniziano i dolori) Equazioni di grado $>=2$ a più incognite:
Direi che sono del tipo: $a_nx^n+a_(n-a)x^(n-1)+...+c_1+b_ny^n+b_(n-a)y^(n-1)+...+c_2+d_nz^n+d_(n-a)z^(n-1)+...+c_3+.....$ (piu relativi prodotti tra gradi differenti)
Qui credo sia impossibile dare le possibili soluzioni ottenibili, mi sembra molto variegato e complesso.
05/06/2023, 11:31
Credo che se hai un sistema di n equazioni di gradi d1,...,dn e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo d1...dn (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.
05/06/2023, 15:02
Martino ha scritto:Credo che se hai un sistema di $n$ equazioni di gradi $d_1,...,d_n$ e se il numero di soluzioni è finito, allora è al massimo $d_1 ... d_n$ (il prodotto tra i gradi). Prova a fare delle ricerche.pinnaciodepinnacis ha scritto:(Qui iniziano i dolori) Equazioni di grado $>=2$ a più incognite:
Direi che sono del tipo: $a_nx^n+a_(n-a)x^(n-1)+...+c_1+b_ny^n+b_(n-a)y^(n-1)+...+c_2+d_nz^n+d_(n-a)z^(n-1)+...+c_3+.....$ (piu relativi prodotti tra gradi differenti)
Qui credo sia impossibile dare le possibili soluzioni ottenibili, mi sembra molto variegato e complesso.
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