Questione t.c implicazione logica

Mi sono di recente incasinato su alcuni concetti anche in un altra discussione aperta che non mi è ancora del tutto chiara, tuttavia in parallelo trovo alcuni dubbi anche su quanto trovo in una vecchia definizione al link: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8506543

Ciao.

Sono molto poco ferrato in logica quindi mi scuso per le scemenze che sto per dire, tuttavia vorrei capire un po' meglio la seguente faccenda: che legame c'è tra implicazione logica e il tale che? (SE sussiste).

Il dubbio mi è sorto leggendo la definizione di zero divisore:

- Dato un A anello commutativo con unità mi si definisce lo zero divisore un elemento a dell'anello se esiste un b dell'anello tale che a*b=0 (con a,b diversi da zero).

- Ora, mi viene da poterla riscrivere come gli zero divisori sono quelle a che rendono vera: $a in A e b in A, a,b!=0 => a*b=0$.
In altre parole sostituendo il valore di a ottengo la proposizione che può essere vera o falsa e per gli a in cui risulta vera ho quell' a zero divisore.

Da qui la domanda, se non ho preso cantonate: ma sussiste quindi un legame tra "t.c." e "=>" avendo - di fatto - potuto trasformare una definizione da una all'altra sfruttando due "operatori logici" apparentemente diversi?

Ringrazio chi avrà voglia di dipanare il mio dubbio e mettermi a posto le idee

Siccome sono impaziente di capire volevo provare ad aprire anche una discussione perché non ci riesco a dormire la notte

Mi sono imbattuto in un dubbio del tutto simile e sebbene stia provando a risolverlo anche con l'aiuto di un altro utente sto entrando solo più in crisi.

Il mio dubbio sorge da una definizione simile nell'utilizzo del tale che visto in quel link:

- Dato un A anello commutativo con unità si definisce lo zero divisore un elemento a dell'anello se esiste un b dell'anello tale che a*b=0 (con a,b diversi da zero).

E non capisco come tradurre quel tale che.

Appurato dalla risposta che non è corretta la seguente
gli zero divisori sono quelle a che rendono vera: $a∈A ∧ b∈A,a,b≠0⇒a⋅b=0$.

Mi chiedevo però se potessi tradurre il tale che con ∧ e quindi: gli zero divisori sono quelle a che rendono vera: $a∈A ∧ b∈A,a,b≠0∧a⋅b=0$.

Speriamo di venirne a capo qui e qui: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=229050
Ho veramente un gran bisogno di capire . E' letteralmente tutta la notte che mi risveglio con sto chiodo fisso.

Non è necessario tradurre il "tale che": nella maniera standard di introdurre i quantificatori, quella esistenziale è un costruttore che in un certo senso preciso è indecomponibile in parti più semplici: in \(\exists x.Px\) il punto è la parte che si legge come "tale che" nella asserzione "esiste un $x$ tale che $Px$", però questo "tale che" non esiste per conto proprio, cioè nella sintassi del calcolo logico tutta la quantificazione va presa come un unico oggetto.

Risolto questo, chiaramente ti stai intestardendo su qualcosa di completamente inutile a capire la definizione di zero-divisore.

Ciao, prima di tutto grazie per aver raccolto la mia domanda e per avermi dato una risposta, perché mi sto davvero avvitando e non riesco a pensare ad altro, parendomi la cosa più importante del mondo

Inoltre, hai perfettamente ragione sul fatto che il dubbio sia leggermente più ampio, nel senso che mi sono intestardito perché trovo utilizzi simili in diverse definizioni e contesti e quindi di base mi ansia non aver chiaro come utilizzarlo perché mi sembra poi di essere un deficiente . Insomma, voglio fondare le definizioni capendo bene le cose come stanno.

Ho in testa altre due cose che vorrei provare a risolvere, ma per non buttare troppa carne sul fuoco inizio con la prima.

Dunque per venire alla domanda: se ho ben compreso la tua gentile spiegazione non devo andare a tradurre il tale che con alcun connettivo logico come invece mi ostinavo a fare, perché ragionevolmente parte integrande dell "esiste". Questo è già un buon punto di partenza.

Adesso, se io volessi negare la legge di annullamento del prodotto nell'implicazione: $AA a≠0∧b≠0⇒a⋅b≠0$ (*) avrei che la negazione è $∃ a≠0 ∧b≠0 ∧ a⋅b=0$

Avendo letto questo il tutto era partito da qui, poiché la definizione di zero divisore partiva da $∃ a≠0 ∧ b≠0 t.c. a⋅b=0$ mentre negando (*) giungevo a qualcosa con "e":
$∃ a≠0 ∧b≠0 ∧ a⋅b=0$ e quindi "confrontandole" dicevo "e" posso renderlo con "t.c".

Errore!
Grazie alla tua risposta ho capito che questa mia deduzione era del tutto sbagliata, ma allora ti chiedo quale è la giusta definizione di zero divisore?
Mi verrebbe da dire quella senza il "tale che" in quanto $∃ a≠0 ∧b≠0 ∧ a⋅b=0$ è proprio la negazione di $AA a≠0∧b≠0⇒a⋅b≠0$ e le cose andrebbero magicamente a posto, altrimenti non torenrebbe con la negazione di (*).

Se, di contro, quella corretta fosse quella che contiene il "tale che" allora non capisco come far coincidere la definizione ottenuta per negazione della (*) (ossia: ∃a≠0∧b≠0∧a⋅b=0) con $∃ a≠0 ∧ b≠0 t.c. a⋅b=0$, dato che una ha ∧ e l'altra il t.c.