Ordine di un elemento in \(\displaystyle G \leq \mathbb{C}^*\)

[complesso]

Ciao a tutti,
sono bloccato in un passaggio di un esercizio e avrei bisogno di uno, o forse due, aiuti.
L'esercizio dà \(\displaystyle G = \{ z \in C^* | \text{ esiste un naturale } n \text{ per cui } z^{p^n} = 1 \} \leq \mathbb{C}^*\), e $H < G$. Dimostrare che $H$ è ciclico e che \(\displaystyle G/H \cong G \).
Facendo un riassunto di dove sono arrivato finora:
Si costruisce \(\displaystyle X(H)= \{ n \in \mathbb{N} \ \ | \ \ \exists h \in H \text{ tale che } ord(h) = p^n \} \) . Sia \(\displaystyle N = \text{max}(X(H))\). Si ricava che \(\displaystyle H=\{z \in \mathbb{C}^* | z^{p^n}=1 \} \).
L'applicazione $f : G \rightarrow G$ definita da $z \to z^{p^N}$ definisce un omomorfismo con nucleo $H$, quindi definisce un omomorfismo iniettivo \(\displaystyle \varphi:G/H \rightarrow G \).

Domanda:
Poi il testo prende un elemento \(\displaystyle z \in G \) di ordine $p^n$. Il testo dice che si avrà $z=e^{\frac{2 \pi i r}{n}}$ per qualche intero $r$ con $\text{MCD}(r, p)=1$. La mia domanda è: un elemento di ordine $p^n$ non sarebbe \(\displaystyle z=e^{\frac{2 \pi i}{p^n}} \) visto che $z^{p^n}=\left( e^{\frac{2 \pi i}{p^n}}\right)^{p^n} = e^{\frac{2 \pi i p^n}{p^n}}=e^{2 \pi i} = 1$?
Dice inoltre che si vede immediatamente (non sono ancora riuscito a vederlo e spero di sbloccarmi una volta risolta la domanda qui sopra) che $z = \varphi(e^{\frac{2 \pi i r}{n+N}})$.

[otta96]

È del tipo $z=e^((2piir)/p^n)$ con $(p,r)=1$.

[complesso]

È del tipo $ z=e^((2piir)/p^n) $ con $ (p,n)=1 $.

Grazie otta96 della risposta. Quindi probabilmente c'è un errore nel libro. Mi sfugge il perché della condizione $(p, n) = 1$. L'ordine di $z$ sarebbe $\frac{p^n}{\text{MCD}(p^n, r)}$ e quindi penso che la condizione sia $(p, r) = 1$. E' corretto?

[otta96]

Si è come dici, ho sbagliato a scrivere.

[complesso]

Grazie mille otta96,
quindi gli errori nel testo sono:
\(\displaystyle z=e^{\frac{2 \pi i r}{n}} \) che dovrebbe essere \(\displaystyle z=e^{\frac{2 \pi i r}{p^n}} \) e aggiungerei come conseguenza che \(\displaystyle z=\varphi\left( e^{\frac{2 \pi i r}{n+N}}\right) \) dovrebbe essere \(\displaystyle z=\varphi\left( e^{\frac{2 \pi i r}{p^{n+N}}}\right) \).

[otta96]

$N$ non è niente, c'è solo $n$. Quindi se vuoi trovare un elemento nella retroimmagine di $z$ tramite $\varphi$, puoi prendere $z^(1/p^n)=(e^((2piir)/p^n))^(1/p^n)=e^((2piir)/p^(2n))$, dove questi passaggi vanno presi un po' tra virgolette perchè siamo nel campo complesso, ma il risultato va bene.

[complesso]

$ N $ non è niente, c'è solo $ n $. Quindi se vuoi trovare un elemento nella retroimmagine di $ z $ tramite $ \varphi $, puoi prendere $ z^(1/p^n)=(e^((2piir)/p^n))^(1/p^n)=e^((2piir)/p^(2n)) $, dove questi passaggi vanno presi un po' tra virgolette perchè siamo nel campo complesso, ma il risultato va bene.

Si costruisce \( \displaystyle X(H)= \{ n \in \mathbb{N} \ \ | \ \ \exists h \in H \text{ tale che } ord(h) = p^n \} \) . Sia \( \displaystyle N = \text{max}(X(H)) \). Si ricava che \( \displaystyle H=\{z \in \mathbb{C}^* | z^{p^n}=1 \} \).
L'applicazione $ f : G \rightarrow G $ definita da $ z \to z^{p^N} $ definisce un omomorfismo con nucleo $ H $, quindi definisce un omomorfismo iniettivo \( \displaystyle \varphi:G/H \rightarrow G \).

$N$ era quello definito qui sopra che si usa nell'applicazione $f$. Avevo scritto quello per far vedere che ogni elemento $z \in G$ di ordine $p^n$ è immagine tramite $\varphi$ di \(\displaystyle e^{\frac{2 \pi i r}{p^{n+N}}} \) .

[otta96]

$N$ era quello definito qui sopra che si usa nell'applicazione $f$.

Ecco cosa succede quando si leggono i post distrattamente
Ma allora \( \displaystyle H=\{z \in \mathbb{C}^* | z^{p^N}=1 \} \)
E comunque chi ti garantisce che $N$ esista?

Avevo scritto quello per far vedere che ogni elemento $z\inG$ di ordine $p^n$ è immagine tramite $\varphi$ di $e^((2piir)/(p^(n+N))$.

Ok è giusto.

[complesso]

$N$ era quello definito qui sopra che si usa nell'applicazione $f$.

Ecco cosa succede quando si leggono i post distrattamente
Ma allora \( \displaystyle H=\{z \in \mathbb{C}^* | z^{p^N}=1 \} \)
E comunque chi ti garantisce che $N$ esista?

Avevo scritto quello per far vedere che ogni elemento $z\inG$ di ordine $p^n$ è immagine tramite $\varphi$ di $e^((2piir)/(p^(n+N))$.

Ok è giusto.

Non preoccuparti, mi hai tolto un grandissimo dubbio
$N$ esiste perché l'avevo già dimostrato: per non scrivere un post chilometrico avevo fatto un riassunto, come scritto nel primo post, in modo da non far perdere una giornata nel leggere una dimostrazione articolata e poi fare una domanda alla quale si poteva rispondere comunque.
Comunque sia, grazie mille. Sono finalmente arrivato in fondo e ho capito

[otta96]

Bene bene