La cardinalità di R+ è pari o dispari?

Salve a tutti ho una domandina sull'insieme dei numeri reali, più precisamente lo spazio di $R^+$ ovvero l'insieme dei numeri positivi di R.

Volevo sapere se fosse possibile asserire il fatto che la cardinalità dell'insieme è dispari.

Se prendessimo una retta che parte da $0$ e va fino a +inf con $ 1 $ l'elemento che distingue i reciproci dei numeri



Allora è giusto dire che i numeri totali in questa parte di retta sono banalmente $ 2N+1 $ escluso lo zero?
E che quindi la cardinalità dell'insieme è dispari?

No, non è possibile. La parità di un numero non si applica a cardinali infiniti.

La tua intuizione è corretta, ma c'è un piccolo errore nella formulazione. Se consideri la retta che parte da 0 e si estende fino a +∞ includendo solo i numeri positivi, puoi effettivamente dire che la cardinalità di questo insieme è contabile e quindi numerabile.

Quindi, in questo caso, la cardinalità dell'insieme dei numeri reali positivi è la stessa di quella degli interi positivi, cioè è numerabile. La cardinalità di un insieme numerabile è rappresentata da N, il numero dei numeri naturali.

La tua formula "2N+1" sembrerebbe suggerire una cardinalità dispari, ma in realtà la cardinalità degli interi positivi (e quindi dei numeri reali positivi) è semplicemente N, senza l'aggiunta di +1.

Quindi, per correggere, puoi dire che la cardinalità dell'insieme dei numeri reali positivi è N, e non 2N+1.

L'insieme dei numeri reali positivi, spesso indicato con ℝ⁺, rappresenta tutti i numeri reali maggiori di zero. Se consideriamo la retta reale e prendiamo solo i numeri positivi su questa retta, avremo un insieme infinito di numeri, ma questo insieme è comunque numerabile.

Per capire meglio, possiamo associare ogni numero reale positivo a un numero naturale. Possiamo fare ciò in vari modi, uno dei più comuni è l'associazione seguente:

1 → 1
2 → 2
3 → 3
4 → 4
...

Ogni numero naturale è associato a se stesso. Quindi, ad esempio, possiamo associare il numero naturale 1 al numero reale positivo 1, il numero naturale 2 al numero reale positivo 2, e così via. In questo modo, abbiamo stabilito una corrispondenza uno a uno tra i numeri naturali e i numeri reali positivi.

Questo dimostra che l'insieme dei numeri reali positivi è numerabile, e quindi ha una cardinalità di ℵ₀ (omega-naught), che è la cardinalità degli interi positivi.

La tua formulazione "2N+1" sembra implicare una cardinalità dispari, ma questa formula è associata a un insieme di numeri dispari. Nella nostra situazione, la corretta rappresentazione della cardinalità è N (omega-naught), senza il termine aggiuntivo +1.

In sintesi, la cardinalità dell'insieme dei numeri reali positivi è numerabile e rappresentata da ℵ₀, che è la stessa cardinalità degli interi positivi.

AleBoschi, è tutto sbagliato quello che hai scritto. La cardinalità dei numeri reali positivi è non numerabile.

L'ipotesi del continuo ci dice che la cardinalità di tutti i numeri reali, \( \mathfrak {c}\), è \(\aleph_1 \) e che essa è la stessa di quella di un sottoinsieme proprio degli stessi, cioè i reali appartenenti all'intervallo \( [0,1] \); si afferma dunque che la cardinalità dei reali (o anche solo di quelli strettamente positivi non maggiori di \(1 \)) è proprio pari al più piccolo insieme non numerabile (strettamente) maggiore della cardinalità dei naturali, \( \aleph_0 \), che invece è numerabile.

Da ciò discende banalmente che la cardinalità del continuo, \( \mathfrak {c} \), è non è numerabile e non ha proprio senso porre la domanda se sia un valore "positivo" o "negativo".

AleBoschi, è tutto sbagliato quello che hai scritto. La cardinalità dei numeri reali positivi è non numerabile.

Esatto. Sembra una risposta (sbagliata) copia incollata da chat gpt