Automorfismi di un campo

Se abbiamo un campo $K$ un estensione semplice $K(a)$ quanti automorfismi possiede?

La domanda non è ben posta. Per esempio se $a in K$ allora $K(a)=K$ e quindi stai chiedendo a tutti gli effetti "dato un campo $K$, quanti automorfismi possiede?". Questa domanda è troppo generale, dipende da caso a caso.

A volte un numero finito, a volte un numero infinito. Dipende dal campo e da $a$.

Se suppongo che il campo sia $Q$, il campo dei razionali, $a$ non appartenente ad $Q$ ed $Q(a)$ un estensione semplice, quanti automorfismi possiede l'estensione?
È chiaro che se $a$ appartiene ad $Q$, dato che si tratta del campo dei razionali l'unico automorfismo esistente è quello identico, giusto? Nel caso invece che $a$ non appartiene ad $Q$ ed $Q(a)$ è un estensione semplice quanti automorfismi avremo?

Continua a dipendere da $a$. A volte un numero finito, a volte un numero infinito.

La domanda continua ad essere estremamente generale, troppo.

Per esempio, c'è un teorema che afferma che se $K$ è una qualunque estensione di $QQ$ di grado finito (cioè $QQ$ è sottocampo di $K$ e la dimensione di $K$ su $QQ$ è finita) allora esiste $a in K$ tale che $K=QQ(a)$ (questo si chiama "teorema dell'elemento primitivo", cercalo).

Quindi in pratica stai chiedendo (in particolare) "quanti automorfismi possiede un'estensione finita di $QQ$?". Domanda troppo generale.

Scusate se ad esempio prendo il campo $Q$ dei razionali e considero l'elemento $i$(unità immagginaria) non appartenente a $Q$ ma algebrico su $Q$ il cui polinomio minimo se non erro é $x^2+1$ allora $Q(i)$ è un estensione semplice, in quanto contiene tutte le radici di tale polinomio, giusto? In questo caso si hanno due automorfismi per l'estensione di campo $Q(i)$, tanti quali il grado del polinomio minimo giusto?

Sì

Ora questo è un fatto più generale, se ad esempio considero il campo dei razionali $Q$ ed un elemento $alpha$ algebrico su $Q$ che abbia come polinomio minimo un polinomio di grado $n$ tale che $E=Q(alpha)$ contiene tutte le radici del polinomio, allora tale estensione algebrica di grado $n$ possiede esattamente $n$ automorfismi, è questo che voglio provare a dimostrare.Ad esempio $Q(sqrt(2),sqrt(3)) $ è un estensione semplice $=Q(sqrt(2)+sqrt(3))$, il suo polinomio primitivo è $x^4-10x^2 +1$ ed ha esattamente $4$ automorfismi.

considero il campo dei razionali $Q$ ed un elemento $alpha$ algebrico su $Q$ che abbia come polinomio minimo un polinomio di grado $n$ tale che $E=Q(alpha)$ contiene tutte le radici del polinomio, allora tale estensione algebrica di grado $n$ possiede esattamente $n$ automorfismi

Sì questo è vero, lo trovi facilmente in qualsiasi libro di testo, insieme alla sua dimostrazione. Comunque cosa hai provato a fare per dimostrarlo?