Domanda su automorfismi

[elatan]

Ragazzi mi potreste spiegare un metodo per trovare gli automorfismi? In particolare quelli di $Z3\timesZ3$ so che sono 48, ma non riesco a vederli! Grazie

[Nulier]

Intesi come $(3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z},+)$ o come $(3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z},+,\cdot)$?
Ossia, parliamo di gruppi o di anelli?

[elatan]

Di gruppi! Scusa se mi sono espresso in modo poco chiaro! Poi il gruppo è interi mod 3

[Martino]

In generale se \( \displaystyle p \) è un primo allora puoi vedere \( \displaystyle {C_p}^n \) (il prodotto diretto di \( \displaystyle C_p \) con se stesso \( \displaystyle n \) volte) come un \( \displaystyle \mathbb{F}_p \) -spazio vettoriale di dimensione \( \displaystyle n \) , dove \( \displaystyle \mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) . Inoltre, siccome ogni elemento di \( \displaystyle \mathbb{F}_p \) è somma di uni, ogni omomorfismo di gruppi additivi \( \displaystyle {\mathbb{F}_p}^n \to {\mathbb{F}_p}^n \) è \( \displaystyle \mathbb{F}_p \) -lineare. Segue allora dall'algebra lineare che

\( \displaystyle \text{Aut}({C_p}^n) \cong GL(n,p) \) (General Linear group),

il gruppo delle matrici invertibili \( \displaystyle n \times n \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{F}_p \) . In altre parole puoi vedere un automorfismo del gruppo \( \displaystyle {C_p}^n \) come una matrice invertibile \( \displaystyle n \times n \) a coefficienti in \( \displaystyle \mathbb{F}_p \) . E' ben noto che

\[
|GL(n,q)| = (q^n-1)(q^n-q) \cdots (q^n-q^{n-1}).
\]

[elatan]

Grazie tante!!!! Ma se avessi a che fare con un mod n dove n non è primo?

[Nulier]

Ti ringrazio per aver condiviso il tuo ragionamento Martino, piuttosto elegante ed ineccepibile.
Tuttavia, a questo punto, anche io come eletan fatico a "vederli".
Consideriamo $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Abbiamo che è un gruppo ciclico rispetto all'addizione, difatti $<(3,3)> \=3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Allora sarei portato a credere che tutti e soli gli automorfismi di $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$ sono quegli omomorfismi che mandano generatori in generatori. Tuttavia così non arrivo a visualizzarne 48... Dove sbaglio?

[elatan]

Forse perché tu stai considerando il gruppo degli interi multipli di tre, ho sbagliato a scrivere l ese, ma mi sono corretto sotto. Io cerco gli automorfismi del gruppo Z3xz3 (ma 3 è pedice!), quindi gruppo degli interi mod 3!

[Martino]

Ma se avessi a che fare con un mod n dove n non è primo?

Non conosco una risposta definitiva, e in effetti è una domanda che mi sono sempre posto anch'io (capire in generale gli automorfismi dei gruppi abeliani). Per via di questo il problema si riduce a determinare gli automorfismi dei \( \displaystyle p \) -gruppi abeliani, di cui si è parlato qui. Il caso di \( \displaystyle C_n \times C_n \) si può fare ma immagino che venga una formula spaventosamente complicata.

Consideriamo $3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$. Abbiamo che è un gruppo ciclico rispetto all'addizione, difatti $<(3,3)> \=3\mathbb{Z}\times3\mathbb{Z}$.

No, non è ciclico.

[Nulier]

Giusto, ho commesso un'ingenuità nel ragionamento... Grazie del chiarimento!

[elatan]

Ciao Martino, ma la dimostrazione di quella formula che mi hai scritto la potresti accennare?