Domanda di teoria sull'immagine

[Martino]

Ti giuro che non ho capito una parola di quello che hai detto. Cerca di rileggere tutto ed elaborare. Non riesco ad entrare nella tua testa.

[nestor]

Ok, mi esprimo in modo più conciso e dritto al punto.

Se devi dimostrare una certa proposizione Q, ti basta mostrare P e P=>Q (entrambe) per dedurre Q. Fai bene attenzione: qui quello che vuoi dimostrare è Q, non il fatto che (P & (P=>Q)) => Q (che è una tautologia).

Vogliamo dimostrare una certa Q, da quanto ho capito, non un P=>Q.

Ora,
Mi spiegavi che se dimostro P e dimostro P=>Q posso dire di aver dimostrato Q.

Non capisco però perché questo procedimento lo chiamassi "modus ponens"¹, perché il modus ponens è la tavola di (P & (P=>Q)) => Q, ma questo non dimostra Q. Dimostra solo la validità dell'implicazione. Qui sorge il mio non aver capito.

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Note

1. la tua "mega ipotesi A" nel tuo caso la hai dimostrata, cioè hai usato il modus ponens: hai dimostrato A, hai dimostrato che A=>(P=>Q) e da queste due cose hai dedotto che P=>Q.

   ↑

[Martino]

Dimostro A, dimostro A=>(P=>Q) concludo che P=>Q è vera

Nel momento in cui deduci che P=>Q è vera stai usando il modus ponens.

A scanso di equivoci, guarda che il modus ponens è un'ovvietà. A me sembra che tu lo stia invece trattando come un comandamento divino. Potremmo aver fatto tutti questi discorsi senza mai parlare di modus ponens.

A me sembra che il modus ponens ti spaventi, forse perché ha un nome, non lo so. È solo un'ovvietà a cui capita di avere un nome.

[nestor]

Ma credo che quello che non capisco è semplicmente che il modus ponens è il nome che do a questa implicazione: (A & (A=>Q)) => Q, costruita con antecedente del tipo (A & (A=>Q)). Il modus ponens è ovviamente sempre vero.

Noi prima dicevamo: dimostriamo A e dimostriamo A=>Q per dedurre Q vero. Però in realtà il modus ponens di per sé è vero anche senza dimostrare A. E' questa cosa che mi lascia dubbioso.

Inoltre, non credo di aver colto il tuo monito: "Fai bene attenzione: qui quello che vuoi dimostrare è Q, non il fatto che (P & (P=>Q)) => Q". Forse è qui la risposta ma non ho colto cosa mi stessi dicendo .

[Martino]

Ma infatti quello che dimostri non è il modus ponens, che è vero per motivi ovvi. Tu dici "il modus ponens è vero anche senza dimostrare A", ma certo, infatti non stiamo mica mettendo in discussione la verità del modus ponens qui. Lo stiamo usando per dimostrare qualcos'altro.

Se sai che A implica X, per dedurre da questo che X è vera devi mostrare che A è vera. Mi sembra ovvio, non lo saprei spiegare meglio di così. Ti stai perdendo in un bicchier d'acqua.

[Martino]

Faccio un ultimo tentativo.

Se tu hai una certa proposizione X che vuoi dimostrare, allora siccome

(*) (A & (A=>X)) => X

per mostrare X basta mostrare A e anche A=>X. Tu dici "ma (*) è vera anche se A è falsa", verissimo. Ma tu non devi dimostrare (*), devi dimostrare X.

Ripeto, devi dimostrare X, non (*).

[nestor]

Ok, forse il mio errore è dovuto al fatto che pensavo che dicessimo Q è vera in quanto è vera la tabella di:
(P & (P=>Q)) => Q.

Invece tu dici, il fatto che la tabella di verità (P & (P=>Q)) => Q sia tutta vera ci dice che il modus ponens è dimostrato, cioè che il modus ponens è corretto come implicazione logica. Ma a noi non serve questo, noi dobbiamo invece dedurre che Q è vera sapendo P e l'implicazione vere.

Il punto è che non capisco come deduco che dal fatto che "(P & (P=>Q)) => Q è una tautologia", allora "per dimostrare Q mi basti dimostrare P vera e P=>Q vera".
Non vedo il legame tra "P vera e P=>Q vera se ne deduce Q" con il fatto che "(P & (P=>Q)) => Q sia una tautologia", credo mi manchi quel passo.

[nestor]

Ho visto che nel frattempo avevi scritto e mi pare che il mio errore fosse proprio lì. Io pensavo che dimostrare X fosse il mostrare vera (*) (A & (A=>X)) => X. Ma non è così. Questo ora l'ho capito.

Pero non capisco questo passaggio:

siccome

(*) (A & (A=>X)) => X

per mostrare X basta mostrare A e anche A=>X

Non ho cioè capito perché (A & (A=>X)) => X mi permetta di "dedurre" che per mostrare X basta mostrare A e A=>X. Lo tiro fuori dal fatto che quella roba (*) è una tautologia. Ma non ho capito il perché mi porti a questa conclusione.

[Martino]

Non vedo il legame tra "P vera e P=>Q vera se ne deduce Q" con il fatto che "(P & (P=>Q)) => Q sia una tautologia", credo mi manchi quel passo.

Sul serio? In questo caso non ti posso aiutare. A me sembra veramente ovvio, non lo saprei spiegare. È ovvio.

Se P=>Q è vera e P è vera allora Q è vera. Se questo non ti è chiaro, siamo proprio su pianeti diversi. Per me è del tutto ovvio.

[nestor]

Ma più che altro sai cosa?

Quando scrivi:

Se P=>Q è vera e P è vera allora Q è vera.

in realtà mi è chiaro che sia corretto, cioè mi pare ovvio che se P è vera e P=>Q è vera allora deduco Q vera: lapalissiano . Però, di contro, è come se non riuscissi a vedere perché discenda dal fatto che
(P & (P=>Q)) => Q sia una tautologia. Cioè non capisco il nesso deduttivo, perché discenda da quel fatto.
In sostanza capisco quanto nel quote, ma non capisco perché si deduca dalla tavola di (P & (P=>Q)) => Q.

Curiosa questa cosa, però almeno ora ho capito il problema grazie al tuo enorme aiutone. Spero di riuscire a capire il motivo ora. Mi spremerò a lungo sopra.

Ti ringrazio moltissimo!