megas_archon ha scritto:Siamo abituati a rappresentare graficamente un insieme delimitando una porzione di spazio tramite una curva chiusa
Questa è una rappresentazione di un insieme che non ha niente di formale, e che quindi non è molto adatta per ragionare sul concetto astratto. In particolare, gli insiemi sono "amorfi", ossia non hanno altra struttura che non quella determinata dall'essere collezioni di certi elementi, quelli che soddisfano una proprietà. Però è pericoloso essere troppo liberali nel definire quali proprietà:
tutte sono troppe, perché generano oggetti paradossali.
Più nello specifico, gli insiemi non sono "array" o "liste" di oggetti, ciascuna di queste due strutture infatti ha un ordine specificato tra i suoi elementi, che rende, ad esempio, la lista \((\text{spinterogeno}, \text{furetto}, \text{Andalusia})\) diversa dalla lista \((\text{Andalusia},\text{furetto}, \text{spinterogeno})\) (laddove invece i due insiemi con gli stessi elementi in ordine diverso solo uguali), e ammettono ripetizioni (i
multiinsiemi, cioè le liste simmetriche, sono una struttura di dato ancora diversa dagli insiemi nudi).
Il resto del discorso fa un po' di confusione con il linguaggio, per cui è impossibile stargli dietro: puoi fare un esempio matematico, invece di uno con matite e tavoli?
Sono stato molto generico nel dipanare il filo dei pensieri, assolutamente. Il fatto è che mi ci vorrebbero almeno un paio d'ore per abbozzare una formalizzazione su una delle tante direttrici che questo processo mentale potrebbe produrre e chiedevo più che altro se già fossero disponibili lavori strutturati in tal senso (non penso di essere stato il primo ad aver avuto idee simili).
Così, a spanne e andando parecchio di fretta, credo che la formalizzazione dovrebbe già includere al suo interno la propria metrica e se dunque volessimo costruire il relativo spazio metrico per poterlo associare al quadro astratto appena tratteggiato sopra, immagino che, tra le tre condizioni, quella a cui stare più attenti debba sicuramente essere la preservazione della validità della disuguaglianza triangolare.
Il problema dell'ordine/non ordine non è di poco conto, perché so bene che in un insieme finito descritto elencando gli elementi (come quelli dei miei esempi) l'ordine degli stessi non è rilevante, ma se ci volessimo associare il concetto di distanza la cosa creerebbe non pochi problemi e magari ci ritroveremmo giusto a lavorare con quella tra le rette parallele che includono i segmenti che descrivono tali collezioni di elementi non ordinati. Non sarebbe certo ottimale o super rigoroso, ma potrebbe aprire le porte a ulteriori sviluppi (IMHO).
Il fatto di ripetere, che so, tre volte "matita" all'interno dello stesso insieme di oggetti per scrivere su carta non lo trovo problematico... basta assegnare a ciascun elemento un'etichetta/indice univoco tramite pedice (i.e., matita_1, matita_2, matita_3, magari ordinandole per data di acquisto, lunghezza della mina residua, durezza/colore o un altro criterio a scelta).
Ho proposto un esempio così "elementare", da scuola elementare proprio, perché una volta intuita la linea su cui procedere, troverei molto più semplice trasporre tutto nel mondo delle strutture algebriche, sostituendo a oggetti fisici numeri e quant'altro.
L'obiettivo di partenza sarebbe quello di ottenere degli involucri (dotati di una distanza
interna) contenenti molti "oggetti" (in astratto non solo matematici, sacrificando in questa fase la precisione formale della relativa definizione) che permettano di veicolare più informazioni al contempo, accogliendo al loro interno differenti classi di oggetti stratificate, connotate da una certa distanza reciproca (se non si riuscisse poi a ottenerne una assoluta che dunque permetta di posizionare l'involucro stesso in uno spazio metrico... obiettivo che al momento accantonerei).
Facciamo un esempio rapido con i numeri per concludere: magari potremmo pensare di includere in un certo segmento i più piccoli $1000$ numeri naturali, aggiungiamo una dimensione e collochiamo su un segmento parallelo a distanza $1$
unità classante (termine inventato al momento) dal precendente tutti i razionali non interi tra $0$ e $1000$, aggiungiamo un altro asse (per semplicità) ortogonale e su un rettangolo a distanza $2$ unità classanti colloco tutti gli irrazionali tra $0$ e $1000$ (ho scelto qui un rettangolo anziché un segmento perché la cardinalità dei reali è $2$^(cardinalità dei naturali/razionali) e lo visualizzerei meglio così), magari poi posso descrivere meglio gli oggetti presenti nell'insieme dipinto come quel "rettangolo" differenziandoli nelle sottoclassi di irrazionali "algebrici" e "trascendenti", associando a ciascuna partizione la relativa proprietà di essere/non essere soluzioni di alcuna equazione polinomiale a coefficienti interi...