dimostrazione di un teorema.

scusa la mia ignoranza....

se i > Vp(n!) siamo entrambi convinti che p^ i > p ^ Vp(n!)

ma p ^ Vp(n!) non è n! (ciò lo sarebbe se Vp fosse la funzione logaritmo in base p) . Ma poichè qui stiamo lavorando su interi p ^ i è minore o uguale a n!

faccio 1 esempio :

V2(5!) = 3 perchè 5! = 120 = (2^3) * 3 * 5

ora 2 ^ (V2(5!) + 1) = 2 ^ 4 = 16 < 120 = 5!

scusa la mia ignoranza...

Non scusarti di nulla, son io che ci ho messo un fattoriale di troppo!

Fatto sta che ancora non riesco a convincermi che se i > Vp(n!) allora p ^ i > n. O meglio....intuitivamente lo immagino....in quanto p ^ Vp(n!) sarà molto più grande di n....ma non è quantizzato in maniera rigorosa.

FINALMENTE MI SON CONVINTO.

Il problema è che ho sbagliato nel valutare la lunghezza (quella portante) della sommatoria infinita. Prima avevo dimostrato che quella sommatoria infinita in realtà può finire in Vp(n!) dando lo stesso risultato....ma adesso ho dimostrato ke quella sommatoria può finire anche dopo (sempre ottenendo lo stesso risultato), ovvero in ceiling(logaritmo in base p di n!).

A quel punto possiamo scrivere che :

per k > ceiling(logaritmo in base p di n!) si ha che:

p^k > p ^ ceiling(logaritmo in base p di n!)>=n! > n

Per questo il teorema funziona.