Salve, non posto mai qui, io studio matematica e non economia (di cui non so veramente nulla), il prof ha fatto un esempio per una tecnica in simulazioni stocastiche, la così detta variabile antitetica che permette di ridurre la varianza e quindi permette di ridurre l'errore nella stima del valore atteso usando il metodo Monte Carlo. Mi piacerebbe capire il senso intuitivo che c'è dietro (non tanto alla tecnica stocastica, ma all'interpretazione economica delle cose in gioco).
Esempio: Pricing for an European option \( \mu = \mathbb{E}[Z] \) dove \(Z = e^{-rT} \psi(S_T) \), dove \( \psi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è un option's payoff (che è una funzione crescente?) e dove \(S_t \) è il valore di un asset al tempo \(t\) modellizzato dal equazione differenziale stocastica seguente
\[ dS_t = r S_t dt + \sigma S_t d W_t \]
con \(W_t\) un processo di Wiener standard e \(S_0\) è dato. Si può dimostrare che \(X_t = \log \left( S_t/S_0 \right) \) soddisfa l'equazione differenziale stocastica con coefficienti costanti
\[ d X_t = (r-\sigma^2/2)dt + \sigma d W_t , X_0=0 \]
la cui soluzione è \(X_t = (r-\sigma^2/2)t + \sigma W_t \sim \mathcal{N}((r-\sigma^2/2)t,\sigma^2t) \). Quindi \(S_T = S_0 e^{X_T} \) ha la distribuzioe log-normale con \(X_T \sim \mathcal{N}((r-\sigma^2/2)T,\sigma^2T) \) e \( \mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{r T} \). Definendo
\[ \tilde{\psi}( X_T) = e^{-r T} \psi(S_0 e^{X_T}) = e^{-rT}\psi(S_T)= Z \]
abbiamo che \(X_T\) essendo normale ha una distribuzione simmetrica attorno alla media (i.e. \(2 \mathbb{E}[X_T] - X_T \sim X_T \) ), inoltre \(\tilde{\psi}\) è crescente essendo una composizione di funzioni crescenti quindi per la disuguaglianza di Chebishev per la covarianza abbiamo che \( Z = \tilde{\psi}(X_T) \) e \(Z_a = \tilde{\psi}(2 \mathbb{E}[X_T]-X_T) \) sono correlate negativamente (i.e. \(\operatorname{Cov}(Z,Z_a) \leq 0 \)) e \( \mathbb{E}[Z]= \mathbb{E}[Z_a] \) pertanto lo stimatore della variabile antitetica
\[ \widehat{\mu_{AV}} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N/2} \left( \tilde{\psi}(X_T^{(j)}) + \tilde{\psi}( (2r-\sigma^2)T- X_T^{(j)}) \right) \]
dove \(X_T^{(i)} \sim^{i.i.d.} \mathcal{N}\left( (r- \sigma^2/2)T, \sigma^2 T \right)\), è uno stimatore di \( \mu \) che porta ad una riduzione della varianza.
Domande: Come interpretare (intuitivamete) economicamente le equazioni differeziali che ci sono e le varie variabili/costanti? Cos'è un option pricing? E cos'è un payoff? E un asset? Grazie