Democrazia e matematica

Sono assolutamente d’accordo nel dare all’indice Eff una formulazione lineare. Io ho usato le funzioni perché a mio avviso permettevano meglio di capire le varie relazioni esistenti tra le diverse variabili.
In merito ai tuoi quesiti finali (dove sono pol e nat?) è opportuno definire quella che secondo me è l’equazione di base che permette di misurare Eff, e che fino ad oggi non era ancora stata evidenziata. Ovvero:

10) Eff = el + pol + as

Siccome el è stata definita con l’equazione 1 (el=f(par) con f'>0)
e pol l’abbiamo definita con l’equazione 2 (pol=g(can,nat) con gcan>0 e gnat<0)
e nat l’abbiamo definita con l’equazione 3 (nat=s(pro,crt) con spro<0 e scrt<0)
e as è stata definita con l’equazione 4 (as=u(fid) con u'<0)
l’indice Eff dovrebbe riepilogare le funzioni 1, 2, 3 e 4.

Pertanto, la tua funzione Eff=k(el,can,par,pro,crt) dovrebbe diventare:

11) Eff = k(par, can, pro, crt, fid) senza il parametro el che come sappiamo è in funzione di par.

Ma ritornando alle tue osservazioni, la 11 dovrebbe essere trasformata da funzione a formulazione lineare.

Se mi permetti, un suggerimento: è inutile rivedere i post precedenti, tutto quello che ci serve è in questo. Anzi, per aiutarti nell’interpretazione delle diverse variabili, te le riepilogo:
el = capacità degli elettori di fare scelte consapevoli
par = partecipazione attiva degli elettori
pol = capacità dei politici di perseguire obiettivi di benessere collettivo.
nat = le pulsioni derivanti dalla natura umana che influenzano negativamente pol
can = selezione qualitativa dei candidati proposti dai partiti;
pro = programmi politici articolati con obiettivi annuali;
ctr = controlli annuali sul raggiungimento o meno degli obiettivi di periodo
ast = livello di astensionismo degli elettori
fid = livello di fiducia dei cittadini nei confronti dei politici e delle istituzioni;

Forse, avrei dovuto sottoporti prima l’equazione 10 che chiarisce come potrebbe essere misurato l’indice Eff.

Ora mi è chiaro.

Quindi prendiamo per $Eff$ una funzione lineare, con le variabili che hai scritto tu.
La modifica che si dovrebbe fare è mettere dei coefficienti davanti alle variabili nella $(10)$, che diventa (la chiamo equazione $0$):


$0) Eff= alpha*el+beta*pol+gamma*as$

con $alpha>0, beta>0, gamma<0$.

dove:

$ 1) el=f(par) $ con $ f'>0 $.

$ 2)pol=g(can,nat) $ con $ g_(can)>0 $ e $ g_(nat)<0 $.

$ 3)nat= s(pro,crt) $ con $ s_(pro)<0 $ e $ s_(crt)<0 $.

$ 4)as=u(fid) $ con $ u'<0 $.


Stop. Già così il modello c'è.
Sperando di non avere dimenticato variabili o sbagliato segni.


Commenti:

1) L'introduzione dei coefficienti $alpha$, $beta$ e $gamma$ nella $0)$ è necessaria, per stabilire i segni e quindi la correlazione tra $Eff$ e le altre variabili, e per potere dare un peso diverso, volendo, alle tre variabili. Altrimenti è come se a tutte e tre le variabile dessi coefficiente $1$.

2)Non so se è il caso di sostituire nella equazione $0)$ di $Eff$ le equazioni $1)-4)$, o è meglio lasciare così.
Poi proverò a sostituire e vedere se viene meglio o più pasticciato (credo più pasticciato).

3) Si potrebbe dare anche alle altre equazioni una forma lineare, al momento non so se è utile, poi vediamo.

4) Tu hai scritto "11) Eff = k(par, can, pro, crt, fid) senza il parametro el che come sappiamo è in funzione di par".
L'equazione, che avevo scritto io, che hai riscritto per $Eff$ è in forma generica, noi ora usiamo quella lineare quindi questa la abbiamo eliminata.
Volevo però fare una osservazione generale di metodo, partendo da questa equazione.
La sostituzione che tu hai fatto eliminando $el$, lasciando solo $par$ da cui dipende, se ha senso dal punto di vista matematico, non trovo che va bene dal punto di vista sostanziale. Questo perché non va ben eliminare una variabile importante (anche se è sottintesa tramite $par)$, rende poco comprensibile il modello e non fa capire le ipotesi teoriche.
In generale, le scelte sulla forma delle equazioni, vanno fatte con criteri extramatematci, privilegiando la perspicuità del modello teorico, naturalmente rispettando la correttezza matematica.
Non tutto ciò che è corretto matematicamente va bene dal punto di vista sostanziale del modello: è la teoria a monte, la teoria politica in questo caso, che deve guidare la scelta della forma matematica e la direzione verso cui indirizzare le elaborazioni matematiche.

Bene! Mi fa piacere sapere che il modello di partenza c’è.
Per quanto riguarda i tuoi commenti 2) e 3) nessuno più di te può decidere cosa sia meglio.

Per come la vedo io, per un discorso di omogeneità, anche le quattro equazioni espresse sotto forma di funzione dovrebbero essere sviluppate in forma lineare, ma devo confessarti che nella forma attuale, probabilmente, rendono meglio l’idea.
In ogni caso, non dobbiamo dimenticare che, alla fine, dovremmo avere un modello che dovrebbe poter esprimere un valore diverso in due ipotesi diverse.

Infine, voglio ringraziarti per le spiegazioni relative alla scelta della migliore forma matematica da adottare nell’impostazione di un modello. Grazie!

Ma figurati!

Al momento lascerei così, $Eff$ e le altre equazioni separate.
Non pasticcerei con sostituzioni, mi sembra meglio distinguere chiaramente l'indice con le variabili che lo compongono, dalle altre variabili che influenzano le variabili nell'indice.

Quanto alla forma lineare, sono d'accordo con te che così rende meglio l'idea.
La forma lineare avrebbe utilità se uno volesse fare ulteriori elaborazioni, ad esempio aggiustare l'indice $Eff$ per renderlo misurabile empiricamente.
Ma questo è un lavoro molto diverso, che concerne la disponibilità di dati e il modo di misurare eventualmente le variabili.

Quanto al fatto che il modello deve esprimere un valore diverso in due ipotesi diverse, è già così, è contenuto nelle ipotesi sulle derivate delle equazioni $1)-4)$.
Penso che tu ti riferisca a $pro$ e $crt$, ma è già previsto dal modello.
Si tratta di dare a queste ultime variabili valori convenzionali, come ti dicevo sopra ad esempio $1$ e $0$.
A seconda se sono $0$ o $1$ avresti quelli che erano prima $Eff1$ e $Eff2$.
Va solo ricordata questa specificazione, non l'ho ripetuta per non appesantire l'esposizione..

C'è solo una difficoltà formale, se le variabili assumono solo i valori $0$ e $1$ non possiamo parlare di derivate.
Ma basta qualche piccola modifica.
Oppure possiamo fra variare $pro$ e $crt$ in un intervallo, così risolviamo.
Ma si tratta di modificazioni formali per non fare cose inesatte matematicamente, che nulla cambiano nella sostanza.

E' chiaro che al punto di vista matematico andrebbero fatte varie specificazioni sulle funzioni ad esempio che sono derivabili, che assumono valori in certi intervalli, etc. , ma lo dò per scontato, se no l'esposizione diventerebbe inutilmente pesante.

Comunque se noto qualche altra cosa che non va o da completare te lo dico.

Un'ultima precisazione: per mostrare che $Eff$ varia al variare delle variabili come $par, can, nat, pro, crt, fid$, si potrebbe pure calcolare formalmente il segno delle derivate di $Eff$ rispetto a queste variabili.

Ma secondo me è una cosa inutile, e pure dannosa, visto che le relazioni si vedono facilmente a occhio.

Non aggiungerebbe niente, solo altre formule, e nasconderebbe il meccanismo tramite cui si hanno le variazioni, quando invece informalmente si vedono benissimo.

Calcolare le derivate è una cosa che si fa spesso in modelli più complicati, dove ci sono tante variabili che interagiscono e dove le relazioni a occhio non si vedono. Oppure se l'espressione della derivata ha un senso economico, se si tratta di economia.
Qui non è il caso.

Il modello impostato definisce, sulla base della teoria, le relazioni generiche esistenti tra i vari parametri. Ma lo scopo del modello, però, è di disporre di uno strumento che permetta di valutare, mediante una analisi empirica, due situazioni differenti che siano comparabili mediante il confronto di Eff1 e Eff2. Quindi, il problema è trovare il modo di misurare questi parametri.

L’equazione di base è:
0) Eff= α⋅el + β⋅pol + γ⋅as

siccome in questa prima impostazione non prevedo di attribuire un peso diverso ai tre elementi mediante questa formulazione, ma mediante la scelta di differenti basi di partenza, l’equazione 0 la trasformerei in:

20) Eff = el + pol – as

A questo punto, per consentire una analisi empirica, dovremmo sostituire ai singoli elementi specifici valori che potrebbero essere desunti sulla base delle restanti equazioni.
Pertanto, per quantificare il primo parametro “el”, potrebbero essere considerati i seguenti ulteriori parametri:

a) N = numero degli elettori
b) P = indice % Istat di partecipazione attiva

Tenendo presente la 1) el=f(par) con f'>0 si potrebbe avere:

21) el = N*P

Anche per “as” (il terzo elemento di 20) si potrebbe utilizzare il parametro ufficiale Istat che definisce gli astenuti (non votanti+schede bianche). Quindi:

c) A = indice % istat di astenuti

22) as = N*A

Per questo parametro non ho utilizzato l’equazione 4 del modello (as=u(fid) con u'<0) per semplificare. Ma si sarebbe potuto pervenire allo stesso risultato anche con la 4 perché ho ipotizzato che che “fid” è complementare ad “as”, ovvero che fid+as=1.
(Forse, alla luce di questa esposizione, potrebbe essere utile modificare la formula 4 inserita nel modello?).

Ora, però, è necessario fare una valutazione di congruità!
Siccome la situazione attuale esprime un livello di “par” inferiore a “as”, e siccome il livello di “pol” è quasi nullo per la mancanza di “can” e per l’influenza di “nat”, ne consegue che Eff1 assumerebbe un valore negativo. Al momento, non sono in grado di stabilire se questo risultato negativo di Eff1 possa essere congruo o meno.

A questo punto, resta da valorizzare “pol” (il parametro centrale della equazione 0) che, come sappiamo, è definito dalle seguenti equazioni del modello:

2) pol=g(can,nat) con gcan>0 e gnat<0.
3) nat=s(pro,crt) con spro<0 e scrt<0.

Per semplificare, ritengo che la 2 potrebbe essere smembrata nelle seguenti due equazioni:

2a) pol1=g1(can) con g1’>0
2b) pol2=g2(nat) con g2’<0

Ne consegue che la 20 diventerebbe:

20) Eff = el + pol1 + pol2 – as

Per valorizzare pol1 non c’è la disponibilità di alcun indice Istat, pertanto diventa necessario individuare un valore di base. È opportuno comunque sottolineare che siccome nella situazione attuale (che sarà valutata mediante Eff1), can=0, ciò non dovrebbe rappresentare un problema. Analoga situazione si avrà per pol2 per l'attuale mancanza di pro e, innanzitutto di crt.

La teoria che ho sviluppato (che poi dovrebbe essere validata dall’esperienza) attribuisce un peso rilevante alla presenza congiunta di “pro” e di “ctr”, mentre la mancanza di entrambi o solo di uno di essi, non determinerà alcun contributo positivo al valore di Eff1.

Quindi, per valorizzare pol1 e pol2 possiamo utilizzare lo stesso valore numerico che al momento potremmo identificare come X.

Pertanto:
Nella situazione attuale, (con can=0) per valutare Eff1, pol1 = X * 0

Per valorizzare pol2, con pro=0 e con crt=0, potremmo avere la seguente valorizzazione:

pol2 = X^(pro+crt) ovvero pol2 = 1.

A questo punto mi fermo sperando di essere stato chiaro nell’illustrare i diversi ragionamenti e di non aver fatto pasticci. Gabriella, mi piacerebbe sapere cosa ne pensi delle mie elucubrazioni.

Dopo aver iniziato ad imparare come si scrivono le formule, la parte finale del mio precedente post diventa la seguente:

Per semplificare, ritengo che la 2 potrebbe essere smembrata nelle seguenti due equazioni:

$2_a$) $pol_1=g_1(can)$ con $g_1’>0$
$2_b$) $pol_2=g_2(nat)$ con $g_2’<0$

Ne consegue che la 20 diventerebbe:

20) $Eff = el + pol_1 + pol_2 – as$

Per valorizzare $pol_2$, con $pro=0$ e con $crt=0$, potremmo avere la seguente valorizzazione:

$pol_2 = X^(pro + crt)$ ovvero $pol_2 = 1$

Ne consegue che la 20 diventerebbe:

20) $Eff = el + pol_1 + pol_2 – as$

Per valorizzare $pol_2$, con $pro=0$ e con $crt=0$, potremmo avere la seguente valorizzazione:

$pol_2 = X^(pro + crt)$ ovvero $pol_2 = 1$

Con questa formulazione , in $pol_2 = X^(pro + crt)$ hai dato valore convenzionale $1$ se $pro$ e $crt$ sono $0$, ma bisognerebbe vedere come quantificare $pro$ e $crt$: dargli valore 1 se presenti, per cui se entrambi presenti verrebbe $X^2$?

E poi si dovrebbe determinare che valore dare a $X$, ovviamente.

Tutto si può fare, bisogna vedere se viene qualcosa di significativo a livello empirico, se l'indice funziona, ad esempio nel comparare sistemi politici diversi.
Forse bisognerebbe provarlo su dei dati.

Io su queste cose di misurazione e creazione di dati non posso che fare delle osservazioni di buon senso, visto che entriamo in un campo o statistico o politico.

Che un indice diventi negativo, inoltre, in sé non è niente di
strano, ma bisogna sempre vedere la congruità con gli obiettivi che ci si pone.

Le tue osservazioni, dettate dal buon senso e dalle tue competenze matematiche, sono state un ottimo viatico per esporre matematicamente la mia teoria.
I tuoi suggerimenti sono stati preziosi e mi hanno permesso di affinare i miei ragionamenti e costruire, con il tuo aiuto, un modello matematico, puramente teorico che, se ci sarà la possibilità, potrà essere verificato empiricamente.
In ogni caso, grazie alla disponibilità delle nostre equazioni, avrò la possibilità di effettuare simulazioni e ipotizzare risultati che, in qualche misura, potranno evidenziare l’entità dello scostamento tra $Eff_1$ e $Eff_2$.

In merito al tuo interrogativo ($X^2$ ?) ti rispondo affermativamente.
Nella mia teoria, la presenza contestuale di $pro$ e di $crt$, determina un incremento nel risultato paragonabile a quello che in una famosissima formula è prodotto da $c^2$.