prova di esistenza dell'equilibrio generale

[LucaGua81]

Ciao a tutti,
vi chiedo un aiuto per un tema di macroeconomia che non riesco a capire.

Sto studiando la prova di esistenza dell'equilibrio generale del modello di Arrow-Debreu.

Confesso di essere un autodidatta e di avere lacune in analisi avanzata, ma c'è un passaggio che proprio non mi entra in testa né nella versione che wikipedia dà della dimostrazione (https://en.wikipedia.org/wiki/Competitive_equilibrium), né in quella che dà il prezioso Microeconomic Theory di Mas-Colell alle pagine 586 e seguenti.

A un certo punto della dimostrazione appare una funzione a cui poi si applica il teorema di punto di fisso.
Wikipedia la definisce:



mentre Mas-Colell la definisce:



In entrambe le versioni non riesco a capire concettualmente cosa significhi questa funzione e perché poi le venga applicato il teorema di punto fisso. Intuisco solo che le due versioni sono forse equivalenti perché entrambe contengono un problema di massimizzazione della funzione di eccesso di domanda, ma mi fermo qui.

Qualcuno potrebbe spiegarmelo in modalità for dummies ? Ripeto, sono un autodidatta un po' zuccone . Non serve entrare nei dettagli, ma mi basterebbe capire il significato generale della dimostrazione e la sua connessione con il teorema di punto fisso.

Grazie mille!
Luca

[gabriella127]

Al momento non ho il tempo di leggere Wikipedia, né di riguardare Mas Colell, che è un bel mattone, ma non guardare tutto insieme, perché ogni testo fa le sue varianti e le sue diverse assunzioni, sono cose complicate e diventi pazzo.
La dimostrazione di Wikipedia è quella di Varian, da quello che dice.

Lascia stare Wikipedia (e ricerche varie su internet), non si possono studiare lì queste cose, usala solo per informazione generale, la voce di Wikipedia è solo una carrellata informativa.
Attieniti a un libro, Mas Colell o Varian, Microeconomic Analysis (quello post graduate, eh, non quello tradotto in italiano) e stop.
Varian è più breve e più semplice (mi pare che Mas Colell usi il teorema di punto fisso di Berge, cioè che sta nel libro di Berge di topologia), per corrispondenze, ma posso ricordare male, quindi più complicato). Se Mas Colell lo trovi complicato, è perché lo è, puoi usare Varian.
Sia Varian che Mas Colell dovrebbero spiegare i teoremi che usano, dovrebbero starci in appendice, in genere sono autosufficienti.

p.s. questa roba è microeconomia, non macroeconomia eh?

[gabriella127]

Guarda, meglio la voce italiana su Equilbrio economico generale, https://it.wikipedia.org/wiki/Equilibri ... o_generale, informazioni di base e stop, senza scendere in dettagli tecnici che richiedono un testo dettagliato con tutte le ipotesi e contesto vario.

In sostanza, dimostrare l'esistenza di un equilibrio concorrenziale, generale cioè su tutti i mercati, in numero $n$ (ma c'è anche il caso in cui sono infiniti) significa mostrare l'esistenza di un vettore di $n$ prezzi che mettono in equilibrio domanda e offerta su tutti i mercati.
Le dimostrazioni moderne si rifanno a teoremi di punto fisso, poiché riconducono il problema dell'esistenza del vettore di prezzi di equilibrio a un problema di trovare un punto fisso di una funzione.
Stop, per una spiegazione e dimostrazione tecnica bisogna riferirsi a un testo.

intuisco solo che le due versioni sono forse equivalenti perché entrambe contengono un problema di massimizzazione della funzione di eccesso di domanda, ma mi fermo qui.

Non è così, 'massimizzazione della funzione di eccesso di domanda' non significa niente, non si massimiza l'eccesso di domanda, ma si richiede che sia uguale a zero.
La massimizzazione è alle spalle, alla base delle funzioni di domanda, ed è la massimizzazione dell'utilità che fa il consumatore: dalla teoria del consumatore si costruiscono le funzioni di domanda.
Ma una volta arrivati al problema dell'esistenza dell'equilibrio non si massimizza niente.


Eventualmente, non affrontare temi così complicati e centrali direttamente su un libro molto formalizzato, ma cerca prima di possedere i concetti economici, ad esempio su un libro intermediate, come il Varian intermediate, quello tradotto in italiano.

[LucaGua81]

Ti ringrazio molto Gabriella per la risposta e la spiegazione.
Il concetto di equilibrio economico generale credo mi sia chiaro, almeno in termini qualitativi.
Riesco a seguire abbastanza anche la dimostrazione e comunque approfondirò sul libro che mi hai consigliato.

Vorrei solo chiederti un chiarimento, anche se forse per una comprensione di carattere generale non è necessario.

Da un punto di vista qualitativo la funzione a cui si applica il teorema di punto fisso cosa rappresenta?
Questa, come ti dicevo, è la versione che ne dà wikipedia in inglese



Mentre il Mas Colell la scrive così



È il fulcro della dimostrazione visto che dà il vettore dei prezzi di equilibrio e vorrei capirla, ma mi sfugge che genere di relazione sia.

Grazie ancora!
Luca

[gabriella127]

Figurati!
La prima forma è quella di Varian, non ha un significato particolare, non so che intendi per qualitativo.
È la funzione costruita in modo tale da applicare il teorema del punto fisso di Brouwer, Varian ne dà la sua versione.
In Wikipedia manca tutto il contesto, su Varian ci sono più pagine dedicato a questo, trovi la spiegazione lì.

Mas Colell devo riguardare che fa, e che teorema usa, ora non me lo ricordo, non è detto che sia la stessa cosa di Varian, ognuno fa a modo suo.

Comunque non dicevo di guardare libri meno formalizzati per dire che non capisci quelli più formalizzati, ma perché in quelli più matematizzati del lato economico di fatto si parla poco, perché si dà per scontato che uno l'ha fatto prima, e certe cose possono sfuggire.

[LucaGua81]

Ti ringrazio Gabriella,
quando dico che non capisco qualitativamente la formula (prendiamo la variante di Varian usata da wikipedia) intendo dire che non mi è chiaro che relazione o grandezza sia g(p). Capisco il significato delle altre funzioni nella dimostrazione (domanda, offerta, eccesso di domanda...), ma non il significato di questa che tuttavia è la più importante perché - attraverso il teorema di punto fisso - permette di trovare il vettore dei prezzi di equilibrio.
Forse mi sto perdendo in un problema di dettaglio ma, come ti dicevo, mi piacerebbe capire i passaggi principali della dimostrazione.

Ne approfitto anche per chiederti una info. Ho sott'occhio il Varian ma non trovo la parte relativa all'equilibrio generale. Per caso sai dirmi in che capitolo sia? Grazie ancora!
Luca

[gabriella127]

Nella edizione che ho io, Microeconomic Analysis, Norton, third edition, è il capitolo 17, Exchange, p. 314.