Bilancio energetico

[argoon]

Salve a tutti. Ho un problema che non riesco a risolvere; credo si debba risolvere col bilancio energetico, ma non ne sono sicuro. Ecco di che si tratta:

Abbiamo una sferetta di massa 20g che può muoversi lungo un percorso. Tale percorso è orizzontale per 1.0m dopodichè abbiamo una circonferenza verticale (una specie di giro della morte) di raggio 0.50m e alla fine di questa circonferenza un altro tratto orizzontale di lunghezza non nota...
Al principio di tutto il percorso c'è una molla di costante elastica 49N/m che spara la sferetta in direzione del percorso che ho descritto. (Credo esistano anche giochi per bambini di questo tipo con modellini di vetture...). Si consideri il tutto con attriti trascurabili.

La domanda è: qual è la minima compressione che deve avere la molla affinchè la sferetta una volta lanciata non si stacchi dal percorso?

Ringrazio anticipatamente chi mi fornirà qualche spunto di soluzione al problema.
Salve!



Modificato da - argoon il 22/03/2003 15:03:26

[mica81]

ciao mi chiamo Carlo e la soluzione dovrebbe essere questa.
ci sono due modi per risolvere l'esercizio.un modo è quello di fare il bilancio energetico considerando solo l'energia potenziale, l'altro considerando l'energia potenziale della molla e l'energia cinetica della sferetta. Nel primo caso devi risolvere le equazioni:
1/2 kd^2 = mgh questo perchè non essendo l'attrito presente, l'energia meccanica del sistema si conserva. in questo caso k è la costante della molla e d è il suo allungamento mentre mgh è l'energia potenziale della sferetta quando si trova in cima sulla circonferenza, nel suo punto massimo. esplicitando dunque d troverai che d = (radice di)2mgh/k
dove h è il diametro cioè 1m. quindi: d = 2*0,02*9,81*1/49 questo è uguale a d = 0,089 cioè circa 9 cm.
nel secondo caso devi eguagliare le due equazioni:
1/2 kd^2 = 1/2 mv^2 dove il secondo membro è l'energia cinetica della sferetta. come vedi compare v che sarebbe la velocità della sferetta che sembrerebbe incognita, ma non è così. osservi infatti che se la sferetta fosse situata in cima alla circonferenza e fosse spinta giù, essa cadrebbe con velocità pari a v = (radice di) 2gh dove h è il diametro. siccome l'attrito non c'è, questa velocità è anche quella che occorre affinchè la sferetta possa raggiungere la cima della circonferenza. pertanto v = (radice di) 2*9,81*1 = 4,42 m/s
a questo punto esplicitando d ottieni che d = v*(radice di)m/k cioè:
4,42 * (radice di) 0,02/49 = 0,089 cioè circa 9cm
NOTA: i due procedimenti sono uguali e quindi il risultato è per forza uguale.

[goblyn]

Ciao! Non sono d'accordo con la tua soluzione. Tu imponi che l'energia totale in cima al giro della morte sia solo potenziale (velocità nulla). Ma non è detto che la pallina non si sia staccata dal binario prima!
Devi imporre che la forza di gravità sia inferiore a quella centrifuga nel punto + alto della ruota!
Viene fuori che la compressione minima è:

radq(5mgR/k)

con R raggio della ruota e k costante elastica.
Cioè circa 31.6 cm

Dimmi se vuoi che illustri il procedimento

[mica81]

effettivamente mi farebbe comodo saperlo^^
comunque prendendo spunto dalle tue ipotesi mi sono messo a riflettere e ho prodotto una mia "teoria".guarsa un pò cosa ne pensi...
praticamente considerando la sferetta un corpo puntiforme si può dire che quando il corpo è nel punto più alto, agisce su di esso un accelerazione rivolta verso il basso, verso il centro, di intensità pari a: a = v^2 / r dove r è il raggio. le forze agenti sono la reazione N della guida e il peso mg (scusa se non indico le grandezze vettoriali)della sferetta.il peso è rivolto verso il basso, e pure la reazione N.possiamo dunque scrivere che (dalla seconda legge di newton):
(simbolo di sommatoria) F = -N-mg = -ma = -m* v^2/r
se il corpo si trova nella condizione di perdere il contatto dalla guida sarà N = 0; avremo quindi:
mg = m* v^2/r ovvero v = (radice quadrata di) gr = 3,13 m/s.per essere sicuri che la sferetta non caschi la sua velocità deve essere maggiore di 3,13 m/s.
facendo quindi il bilancio energetico ottengo che:
1/2 kd^2 = 1/2 mv^2 con k è la costante della molla d l'allungamento ecc... esplicito d e ottengo che:
d = (radice seconda di) mv^2 / k = (radice quadrata di)0,020*3,13^2 / 49 = 0.063 m cioè circa 6 centimetri. addirittura meno di quello che avevo detto inizialmente. cosa ne pensi di queta soluzione? fammi sapere!

[goblyn]

Ciao! Hai fatto tutto bene (ragionamento e conti) a parte il bilancio energetico. Ti sei dimenticato l'energia potenziale gravitazionale della pallina a secondo membro...

goblyn

P.S.: mi sa che ho sbagliato a fare i conti con la calcolatrice, ma la formula è giusta. Ho rifatto i conti, doverebbe venire 10 cm esatti!!!

[mica81]

ah si è vero mi sono scordato dell'energia potenziale!
ciao a presto ^.-