Problema di cinematica

[argoon]

Salve a tutti, è la prima volta che scrivo su questo forum. Pongo un problema che potrà sembrare apparentemente semplice, ma a me ha creato non poche difficoltà. Ecco di che si tratta:

Un punto materiale che si trova ad una altezza di 1.8m viene lanciato in moto parabolico. Il vettore velocità ha modulo costante, 6m/s ma direzione variabile, e più precisamente tale vettore forma un angolo con l'asse orizzontale che può variare tra 0° e 45°. La domanda è: quanto deve valere tale angolo per far si che lo spostamento orizzontale del punto sia massimo; in altre parole, con quale angolo devo lanciarlo per farlo cadere il più lontano possibile dall'ascissa di lancio?

Grazie a tutti per l'attenzione.

[luca.barletta]

h = 1.8 m
v = 6 m/s
g = 9.81 m/s^2

L'equazione del moto parabolico è
y= h + tan(a)*x - g / (2*v^2*(cos(a))^2) * x^2

Devi porre y=0 e risolvi. Prendi solo la soluzione positiva.
Derivi questa soluzione rispetto ad a e poni la derivata = 0.
Trovi che a = 35.35°

Spero di esserti stato di aiuto.

Luca B.

[lupo grigio]

caro argoon
il problema da te posto è quello classico di un proiettile sparato da un cannone e, da artigliere [ahimè] da tempo nella riserva, sarò bel lieto di fornirti la soluzione. Facciamo riferimento per prima cosa alla figura riportata qui sotto.

<img src="http://utenti.lycos.it/luposabatini/Gun.jpg" border=0>

Indichiamo con vo la velocità [in modulo] alla quale viene sparato il proiettile [questa è nota e dipende dalla carica di lancio…] e theta l’alzo del cannone. La traiettoria del proiettile si determina trovandone le coordinate x e y in funzione del tempo. Per questo occorre risolvere le due equazioni differenziali.

x’’=0

y’’= -g [1]

… essendo g l’accelerazione di gravità che, si sa, vale 9.81 m/s^2. Le soluzioni della coppia di equazioni [1] sono date da:

x(t)= c1*t + c2

y(t)= -g/2*t^2 + c3*t + c4 [2]

… nelle quali le ‘costanti arbitrarie’ devono essere determinate imponendo le ‘condizioni iniziali’:

x(0)=0 x’(0)=vo*cos(theta) y(0)=0 y’(0)=vo*sin(theta) [3]

Risolvendo si ottiene alla fine:

x(t)= vo*cos(theta)*t

y(t)=-g/2*t^2+vo*sin(theta)*t [4]

Per trovare il punto di caduta del proiettile xo si trova il valore di t [quello diverso da 0 naturalmente] per cui è y(t)=0 e questo vale:

to= 2*vo*sin(theta)/g [5]

Andando a calcolare il valore di x(t) per t=to si ha infine il valore cercato:

xo= 2*vo^2*sin(theta)*cos(theta)/g [6]

In problema di trovare il valore di theta per il quale xo è massimo coincide col trovare il massimo della funzione f(theta)= sin(theta)*cos(theta). Si trova senza troppe difficoltà che il valore di theta [nel primo quadrante] che rende massima tale funzione vale pi/4 [45 °] per cui è sin(theta)*cos(theta)=1/2. Sostituendo questo valore nella [6] si ha la massima ‘gittata’ del cannone che vale:

xm= vo^2/g [7]

Ovviamente il problema così impostato è molto semplificato. Se dovessimo introdurre il coefficiente di attrito con l'aria il problema subito si complica non poco, per divenire veramente difficoltoso se il cannone è rigato e di deve tenere in conto anche la rotazione del proiettile intorno all'asse del moto.

cordiali saluti!...

lupo grigio

[luca.barletta]

Il buon lupo grigio ha spiegato bene tutti i passaggi, anche se c'è una piccola imprecisione sulle condizioni iniziali:
non è y(0)=0
ma y(0)=1.8

Luca B.