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Perfetto,
grazie mille!
Potrei fare solo un'ultima domanda, sempre riferita alle equazioni differenziali (anche se non propriamente a questo esercizio)?
Nel caso in cui io abbia un'equazione non omogenea:
$X^('')(t)+w^2X(t)+f(t)=0$ (stessa equazione ma non omogenea).
Il prof ha detto che la soluzione si può esprimere come somma della soluzione omogenea e di una particolare.
Se non ho capito male la soluzione particolare si trova con il metodo delle somiglianti considerando un polinomio dello stesso grado (vuol dire questo "somigliante"?) di $f(t)$ e imponendo che esso sia soluzione dell'equazione per ricavarne i coefficenti.
Giusto?
Grazie ancora!

mau21 ha scritto:Il prof ha detto che la soluzione si può esprimere come somma della soluzione omogenea e di una particolare

Corretto e questo vale per tutte le equazioni differenziali lineari, quindi anche di ordine superiore al secondo e anche a coefficienti non costanti.

mau21 ha scritto:Se non ho capito male la soluzione particolare si trova con il metodo delle somiglianti considerando un polinomio dello stesso grado (vuol dire questo "somigliante"?) di f(t) e imponendo che esso sia soluzione dell'equazione per ricavarne i coefficenti.

Corretto. La soluzione particolare è una qualunque funzione che soddisfa l'equazione a prescindere che soddisfi le condizioni iniziali. Ci sono dei metodi per ricavarla nei casi più complessi (ad es. nel caso di coefficienti non costanti), ma quello della somiglianza è il più "popolare" per le equazioni a coefficienti costanti. Quindi se il termine non omogeneo è un esponenziale si prova con un esponenziale, se è un polinomio con un polinomio dello stesso grado e se è una sinusoide con una combinazione di sinusoidi e cosinusoidi alla stessa frequenza.
Bisogna però stare attenti in qualche caso: ad esempio se ho l'equazione dei moti armonici e la f(t) è una sinusoide alla stessa pulsazione $omega$, si vede che la soluzione particolare è una combinazione di termini $t*sin(omega t), t*cos(omega t)$. Questa risposta diverge nel tempo ed è la rappresentazione matematica del fatto che se solleciti un sistema con una funzione avente la stessa frequenza della frequenza naturale del sistema stesso otterrai una risposta abnorme per "risonanza".

Va bene, grazie mille per tutto!