esercizio vincolo olonomo

Dato il seguente problema:



siccome è un equazione a derivate parziali lineare allora il vincolo è olonomo, osserviamo che la forma differenziale corrispondente $cos(y)dx+sin(x) dy=0$. ma essa non è esatta, perciò cerchiamo $\mu$ tale che $(del (\mu cos(y)))/(del y)=(del (\mu sin(x)))/(del x)$, ovvero $(del \mu)/(del y)cos(y)-(del \mu)/(del x)sin(x)=\mu(cos(x)+sin(y))$, perciò $-dx/sin(x)=dy/cos(y)=(d \mu)/(\mu(cos(x)+sin(y)))$, sclego come variabile indipendete $dx$, allora $\int -dx/sin(x)=\int dy/cos(y)$ e $\int dy/cos(y)=\int (d \mu)/(\mu(cos(x)+sin(y)))$, da cui vorrei ricavare i due integrali primi e da essi poi $\mu$ e infine trovare un potenziale $U$ per la nuova forma esatta data da $\mu$ e trovare il vincolo posizionale, però risolvendo quegli integrali non escono delle soluzioni non proprio "belle", non so se ho sbagliato qualche cosa (qualche calcolo) se qualcuno sa dirmi, grazie.

Ammesso e non concesso che gli integrali siano corretti (WolframAlpha):

$(dy)/(dx)=-cosy/sinx rarr$

$rarr intdy/cosy=-intdx/sinx rarr$

$rarr log[cos(y/2)+sin(y/2)]-log[cos(y/2)-sin(y/2)]=log[cos(x/2)]-log[sin(x/2)]+C$

... siccome è un'equazione alle derivate parziali ...

Non mi pare.