esercizio fuinzione generatrice di una trasformazione canonica

Dato il seguente problema




si ha che la trasformazione è canonica in quanto preserva le parentesi di Poisson. Ora dobbiamo trovare la funzione generatrice di tale trasformazione, $f_1(t,q,p,Q,P)$, di cui sappiamo che $(del f_1)/(del p)=0, (del f_1)/(del P)=0, (del f_1)/(del q)=p, (del f_1)/(del Q)=-P$, da questo pensavo di ricavarmi $f_1$ però ho provato a fare qualche calcolo e non mi riesce, qualcuno sa dirmi?

Vi sono 4 tipi di funzioni generatrici (non sempre tutte possibili). Scegliamo la 2, ovvero $G(q,P)$ per la quale valgono le seguenti https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformazione_canonica

1) $p = (del G)/(del q)$
2) $Q = (del G)/(del P)$

Dalle equazioni della trasformazione si ricavano (nei passaggi successivi non starò a guardare eventuali radici negative e condizioni di esistenza)

3) $p = 1/2 arcsin (P/sqrt(q))$
4) $Q = sqrt(q-P^2)$

In base alle relazioni 4) e 2) si ottiene:
$(del G)/(del P) = sqrt(q-P^2)$

per cui integrando risulta (f(q) generica funzione di q)
$G(q,P) = 1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arcsin(P/sqrt(q)) + f(q)$

Derivando la relazione di cui sopra e imponendo la 1) e la 3) si verifica che risulta $f(q) = text(cost)$ e quindi si può porre per semplicità $f(q)= 0$ . In conclusione una generatrice di secondo tipo, a meno di errori di calcolo per cui ti invito a riverificare, dovrebbe essere:

$G(q,P) = 1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arcsin(P/sqrt(q))$

Ti invito inoltre a trovare con analogo procedimento la generatrice di tipo 1 $G(q,Q)$ che è quella per cui valgono le condizioni che hai scritto.

per cui integrando risulta
$G(q,P) = 1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arcsin(P/sqrt(q)) + f(q)$

Non dovrebbe essere $1/2 P sqrt(q-P^2)+q/2 arctan(P/(sqrt(q-P^2))) + f(q)$ ?

Stessa cosa.

Se hai un angolo il cui seno vale $P/sqrt(q)$ la sua tangente varrà

$(P/sqrt(q))/sqrt(1-P^2/q) = P/sqrt(q-P^2) $

e quindi la sua arcotangente fornirà lo stesso angolo.

Chiaramente la scrittura in termini di arcsin è in questo caso meglio per il prosieguo dei conti.