Un quesito di cinematica sulla piscina

[Gregorius]

Salve a tutti, riposto un problema che ho trovato su un vecchio libro di fisica per il liceo, che a sua volta lo traeva dalla rivista ungherese Komal (n. 10, 1994).
Io ho provato a risolverlo ma ad un certo punto mi ritrovo a un punto morto con in mano solo delle equazioni... chiedo a voi se sapete aiutarmi a superare l’ostacolo.
Riporto il testo ed il mio tentativo di soluzione.

Due ragazzi si allenano in piscina: si tuffano insieme dagli estremi opposti della vasca e procedono a velocità costante; giunti in fondo, invertono il percorso e continuano a nuotare, ciascuno sempre con la propria velocità iniziale. Il primo incontro dei due avviene a 22 metri dall'estremo sud della vasca e il secondo incontro a 16 metri dall'estremo nord. Quanto può essere lunga la vasca?

Ho disegnato un modello grafico del problema:




Poi ho fatto un diagramma orario dei due nuotatori:



Dove nell’asse orizzontale ci sono gli istanti del tempo, il t1 corrispondente al primo incontro e il t2 corrispondente al secondo incontro.
Da questo diagramma ho ricavato le seguenti equazioni:

$ x-22=x-v_rt_1 $
$ x-22=v_rvt_1 $
$ x+(x-16)=v_vt_2 $
$ 16=x-v_rt_2 $
$ v_v=(x+6)/(t_2-t_1 $

Cosa bisogna fare ora?
Metterle a sistema? Come si risolve un sistema del genere?

[Gregorius]

Ricontrollandole, forse risultano più corrette così?

$ x-22=v_vt_1 $
$ x-22=x-v_rt_1 $
$ x+(x-16)=v_vt_2 $
$ x-16=x-v_rt_2 $
$ v_v=(x+6)/(t_2-t_1 $

[Faussone]

Io ho fatto così:

$v_1t_1=22$
$-v_2t_1+x=22$
$x-v_1(t_2-x/v_1)=x-16$
$v_2(t_2-x/v_2)=x-16$

Con $x$ lunghezza incognita della piscina, $t_1$, $t_2$ tempi degli incontri e $v_1$, $v_2$ velocità dei nuotatori.
Facendo i conti viene $x=50$ metri.

Edit: Corretto il sistema e conseguentemente il risultato (prima avevo assunto che il secondo incrocio avvenisse a 16 metri dalla sponda sud, non a 16 metri dalla nord come detto nel testo).

[axpgn]

È l'ennesima versione di un problema classico

[Gregorius]

Rileggendo il testo, ho interpretato che incontrarsi significa incrociarsi nuotando in versi opposti.
Il diagramma allora diventa così:





Le equazioni che ho trovato per questo modello sono:

$ x-22=v_rt_1 $
$ x-22=x-v_vt_1 $
$ x-16+x=v_rt_2 $
$ x+16=v_vt_2 $
$ v_r=(x+6)/(t_2-t_1 $
$ v_v=(x-6)/(t_2-t_1 $

Un sistema che come risultato dà 50. Però l'ho fatto risolvere al Wolfram, io non ne sono capace.

[Gregorius]

Io ho fatto così:

$v_1t_1=22$
$-v_2t_1+x=22$
$x-v_1(t_2-x/v_1)=16$
$v_2(t_2-x/v_2)=16$

Con $x$ lunghezza incognita della piscina, $t_1$, $t_2$ tempi degli incontri e $v_1$, $v_2$ velocità dei nuotatori.
Facendo i conti viene $x=41$ metri.

Come sei riuscito a risolvere un sistema di quattro equazioni in cinque incognite?

[axpgn]

Guarda il link che ho messo

[Gregorius]

Guarda il link che ho messo

La soluzione che dai in quell'altro problema è davvero molto elegante, complimenti!
Io invece mi sono aggrovigliato in sistemi di equazioni ma anche con il tuo metodo ho trovato il risultato 50, come nella mia seconda proposta di soluzione!

[axpgn]

[Faussone]

Come sei riuscito a risolvere un sistema di quattro equazioni in cinque incognite?

Il sistema non permette di trovare tutte e 5 le incognite, ma la $x$ sì, le altre 4 incognite restano funzione di un parametro (quasi) libero.
Visto che a voi risulta 50 (che è anche un risultato congruo con la lunghezza di una piscina) devo aver sbagliato qualche conto, in ogni caso con questo approccio i conti non è che siano difficili, sono io che sono scarso coi calcoli, magari se riesco a capire dove ho cannato correggo.