Dubbio rotazione di cilindri

Ciao ragazzi, svolgendo questo problema credo di aver trovato un'imprecisione e vorrei sapere se si tratta effettivamente di ciò oppure se ho trascurato io qualcosa.
La traccia è: Due cilindri di vetro (1 e 2) uguali sono mantenuti fermi all'estremità più alta ( h=4m) di un piano inclinato di 45 gradi. Una volta lasciati liberi, il cilindro 2 rotola senza strisciare in una regione dove è presente attrito e il cilindro 1 percorre una regione del piano senza attrito.
Qual è la velocità finale dei due cilindri in fondo alla discesa
(Considera la massa dei cilindri concentrata in un punto, il loro centro di massa).
Ora, per calcolare la velocità finale del primo cilindro è sufficiente notare che vale il principio di conservazione dell'energia meccanica (dato che l'unica forza non conservativa è quella vincolare che però è perpendicolare alla direzione dello spostamento e ha di conseguenza lavoro nullo): $ 0+mgh=1/2mv^2+0 $ (ovviamente il livello zero scelto per la forza peso è la base del piano inclinato, e l'energia cinetica iniziale è nulla in quanto parte da fermo): $ v=sqrt(2gh) $ E fin qua tutto regolare.
È per ciò che concerne il cilindro con attrito che credo di aver trovato l'imprecisione: questo rotola poiché è presente attrito e non bisogna applicare il principio di conservazione dell'energia meccanica bensì considerare che la variazione di energia meccanica è uguale al lavoro svolto dalle forze non conservative (solo l'attrito radente dinamico in tal caso dato che trascuriamo in entrambi i casi l'attrito con l'aria): $ (1/2mv^2+1/2(1/2mr^2(v/r)^2)+0-mgh-0=W_(nc) $ (al primo membro si ha la somma delle energie cinetiche del corpo, che sono quella di traslazione e quella di rotazione) da cui ottengo: $ v=sqrt(4/3gh(mu_d+1) $ .
Il testo, invece, riporta $ v=sqrt(4/3gh) $ come formula risolutiva perché applica la conservazione dell'energia meccanica trascurando il fattore $ mu_d+1 $ che descrive come varia la velocità finale in funzione dell'intensità dell'attrito. È corretto quanto ho osservato? (L'approssimazione del testo dovrebbe funzionare fin quando $ mu_d $ tende a valori piccoli e di conseguenza il fattore tra parentesi tende ad uno e le due formule sono approssimativamente uguali, ma in caso contrario mi sembra impossibile perchè, seguendo la logica del testo, la velocità finale sarà 7.2 m/s a prescindere se questo cilindro rotoli sul ghiaccio, o sull'asfalto, o sul terreno ecc.. che producono forze di attrito di intensità differente e che quindi rallentano in modo più o meno evidente a velocità finale).

È per ciò che concerne il cilindro con attrito che credo di aver trovato l'imprecisione: questo rotola poiché è presente attrito e non bisogna applicare il principio di conservazione dell'energia meccanica bensì considerare che la variazione di energia meccanica è uguale al lavoro svolto dalle forze non conservative

La forza di attrito non compie lavoro. Il punto di contatto fra il cilindro e il piano è fermo