Per rispondere in modo esaustivo alla tua domanda conviene trovare il testo con calcolo completo che, non ipotizzando simmetria sferica, faccia vedere che l'equazione di Poisson è soddisfatta dalle formule in questione (ad es. per il potenziale vettore secondo Wikipedia il testo di Mencuccini e Silvestrini, p. 260)
Più semplice dire perchè le formule in questione sono una soluzione del potenziale elettrico e magnetico,
ottenibili per altra via che non sia la risoluzione diretta dell'equazione di Poisson.
Potenziale elettricoPer un sistema di cariche partendo dalla legge di Coulomb ed integrando il campo elettrico si trova che
$V = Sigma 1/(4 pi epsilon_0) q_i/abs(vec r- vec r_i)$
Appare chiaro che se suddivido una distribuzione continua in tante cariche infinitesime estendendo la formula sopra otterrò proprio la formula integrale.
Potenziale vettore magneticoSi parte dall'estensione della formula di Biot-Savart ad un conduttore avente una densità di corrente $vec J$ e che puoi trovare qui
https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Biot-SavartTale formula può quindi essere utilizzata per calcolare direttamente $vec A$, vedi a riguardo
https://it.wikipedia.org/wiki/Potenzial ... _magnetico alla voce "Derivazione esplicita del potenziale vettore"