Approssimazione distanze

[eternauta]

Volevo porre una domanda che mi incuriosiva sull'approssimiazione delle distanza nel dipolo.

Solitamente si usa dire che mettiamo ci sia il centro del sdr in O, in Q ho la carica di un estremo del dipolo e voglio valutare il punto P nello spazio. Sia d la distanza tra le due cariche opposte.

In genere si ha che:
$r_(PQ)≈r_(PO)-zcostheta$ (1)


- quando sviluopo in sreie di taylor riesco a mostrare che: $1/r_(PQ)≈1/r_(PO)$

ecco le domande dubbie:

- perché assumo che $vecr_(PO)≈vecr_(PQ)$ mi sembra di ammettere una ambivalenza, infatti dico che i moduli sono diversi da (1), però dico che i vettori sono uguali infatti ho che $vecr_(PO)-vecr_(PQ)≈0$ da cui il professore dice che in sostanza la dimensione del dipolo è nulla, infatti la differenza di quei due vettori è $vecd$ con d grandezza del dipolo.

- altro dubbio, se ammettiamo $1/r_(PQ)≈1/r_(PO)$ allora invertendo i rapporti ho $r_(PQ)≈r_(PO)$, ma non doveva essere: $r_(PQ)≈r_(PO)-zcostheta$? Perché non vale questa inversione dei rapporti?

CHiedo un aiuto!

[Quinzio]

L'espressione esatta e' questa:
$r_{PQ} = \sqrt{(r_{PO} - d cos\theta)^2+ (d sin\theta)^2} = \sqrt{r_{PO}^2 + d^2 - 2r_{PO}d cos\theta} = r_{PO} \sqrt{1 + (d/(r_{PO}))^2 - 2d/r_{PO} cos\theta}$

Se poi $r_{PO} ">>" d$ allora posso approssimare la radice con

$\sqrt{1 + (d/(r_{PO}))^2 - 2d/r_{PO} cos\theta} \approx (1 - d/r_{PO} cos\theta)$

e quindi

$r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$

E' tutto qui. Onestamente, non e' che abbia capito bene quali sono i tuoi dubbi.
Cos'e' per te $z$?

[eternauta]

Uhm ok uello è il modo per ricavare formalemtne $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$, a me in effetti era stato dato per buono come via "grafica" e comprendo la tua spiegazione.

Però i miei dubbi nascono da lì in poi diciamo, io parto da $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ (1)

E il prof dice:

$1/r_(PQ)\approx 1/(r_(PO)-dcostheta)=$ [...calcoli in cui sfrutto binomio con sv. taylor...] $=1/r_(PO)+(dcostheta)/(r_(PO)^2)$ sicome ordine superiore trasucro 1/r^2 => $1/r_(PQ) \approx 1/r_(PO)$

ora i dubbi sorgono dopo.

1) primo dubbio: se io prendo $1/r_(PQ) \approx 1/r_(PO)$ io dico se faccio il reciproco ho: $r_(PQ) \approx r_(PO)$ da cui $r_(PQ) - r_(PO)\approx 0$ ma questo non contraddice la (1)? perché la 1 dice: $r_{PQ} - r_{PO} \approx - d cos\theta$ !

2) secondo dubbio: il prof dice che i vettori $r⃗ _(PO)$ e $r⃗ _(PQ)$ sono praticamente uguali, e da questo se ne deduce che la distanza d tra le due cariche è nulla, infatti se vale $r⃗ _(PO)≈r⃗ _(PQ)$ => $r⃗ _(PO)-r⃗ _(PQ) \approx 0$ ma qui mi dico, se prima ho dimostrato che $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ non ho una ambivalenza di trattazione? da una parte dico i due vettori sono uguali ma dall'altra che i loro moduli hanno una differenza del valore di $d cos\theta$ un po strano no?

[Quinzio]

il prof dice che i vettori $r⃗ _(PO)$ e $r⃗ _(PQ)$ sono praticamente uguali, e da questo se ne deduce che la distanza d tra le due cariche è nulla,

E' in questo punto che c'e' qualcosa che non torna.
I vettori sono praticamente uguali, e non se ne deduce nulla.
E' sbagliato dire che se ne deduce che la distanza tra le cariche e' nulla.
Se la distanza tra le cariche e' nulla il dipolo sparisce, non esiste piu', quindi su cosa continuiamo a discutere ?

C'e' qualcosa che non va. A me sembra strano che il prof. abbia proprio detto cosi'. O non hai seguito bene, hai preso male gli appunti, ti hanno dato degli appunti sbagliati, ecc.. ecc...
Qualcosa che non va c'e'.
La distanza $d$ non si annulla, altrimenti abbiamo finito qui la discussione.

[eternauta]

No, aspetta, forse mi sono espresso male.

Le parole esatte sono: "a grandi distanze non andiamo a distinguere tra origine in cui ho una carica e punto assunto dall'altra carica, ossia $r⃗_(PO)≈r⃗_(PQ)$", in particolare usa questa approssimazione in un calcolo, quindi è proprio quello che serve avere per svolgere un integrale e quindi non ci sono dubbi che l'approssimazione che fa sia questa dato che $r⃗_(PO)-r⃗_(PQ)≈0$ lo usa esplicitamente.

Io l'ho inteso così questo passaggio: a grandi distanze in sostanza la distanza tra carica e centro del sdr è praticamente nullo in quanto sono in una zona asintotica. Dire questo mi sembra abbastanza corretto, d'altra parte il dipolo "si perde" più velocemente a grandi distanze di una carica singola, è come se vedessi le due cariche "concentrate" in un singolo punto. Intendevo questo prima.

Da qui i dubbi precedenti.

NB: le mie due domande di cui sopra sono in zona asintotica r->oo lo ripeto per chiarezza.

[Quinzio]

Ok, ma io non riesco a capire qual e' il tuo dubbio.
Se $d$ e' molto piccolo, come e' in effetti, rispetto alle altre distanze, lo possono considerare zero.
Questo non esaurisce il tuo dubbio, il dubbio 1 ?

[eternauta]

Sì, in effetti lì forse mi sono incastrato su una scemenza, cioè ottenevo $1/r_(PQ) \approx 1/r_(PO)$ come:

$1/r_(PQ)\approx 1/(r_(PO)-dcostheta)=$ [...calcoli in cui sfrutto binomio con sv. taylor...] $=1/r_(PO)+(dcostheta)/(r_(PO)^2)$ sicome ordine superiore trasucro 1/r^2 => $1/r_(PQ) \approx 1/r_(PO)$

e poi facevo il reciproco e riconfrontavo $1/r_(PQ) \approx 1/r_(PO)$ con la relazione $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ e dicevo i risultati non coincidono più.

Però in effetti non mi ero accorto che già prendnendo $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ e mettendomi al limite asintotico di "r infinito", in effetti vale già $r_{PQ} -r_{PO} \approx 0$ che coincide con il reciproco che citavo.

Insomma, il senso credo fosse questo.



Però detto ciò mi rimane comunque l'amaro in bocca perché non capisco una cosa, io in realtà ho tale risultato $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ (1) a grandi distanze.
E poi dico, ma a grandi distanze ho anche che $r_{PQ} -r_{PO} \approx 0$ e $r⃗ _(PO)-r⃗ _(PQ) \approx 0$ (2).
Mi sembra comunque di trattare il caso con due pesi e due misure, in certi calcoli infatti usa (1) e in altri le (2, pur sempre per r->oo. E non capisco bene perché, delle due l'una no?

[eternauta]

Però detto ciò mi rimane comunque l'amaro in bocca perché non capisco una cosa: io in realtà ho tale risultato $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ (1) a grandi distanze, quindi r oo.
E poi dico, ma a grandi distanze ho anche che $r_{PQ} -r_{PO} \approx 0$ e $r⃗ _(PO)-r⃗ _(PQ) \approx 0$ (2).
Mi sembra comunque di trattare il medesimo caso con due pesi e due misure, in certi calcoli infatti usa (1) e in altri le (2), e siamo pur sempre a r->oo. E non capisco bene perché, delle due l'una no?

Nessuna idea a riguardo? Perché non capisco il mio errore interpretativo

[Quinzio]

Però detto ciò mi rimane comunque l'amaro in bocca perché non capisco una cosa: io in realtà ho tale risultato $r_{PQ} \approx r_{PO} - d cos\theta$ (1) a grandi distanze, quindi r oo.
E poi dico, ma a grandi distanze ho anche che $r_{PQ} -r_{PO} \approx 0$ e $r⃗ _(PO)-r⃗ _(PQ) \approx 0$ (2).
Mi sembra comunque di trattare il medesimo caso con due pesi e due misure, in certi calcoli infatti usa (1) e in altri le (2), e siamo pur sempre a r->oo. E non capisco bene perché, delle due l'una no?

Nessuna idea a riguardo? Perché non capisco il mio errore interpretativo

La risposta mi sembra molto semplice e allo stesso tempo complessa.
La risposta e': dipende da cosa devi fare.
Se ai fini di quello che devi fare, va bene l'approssimazione, usa l'approssimazione, altrimenti non usarla.
Un esempio:
adesso io sono in salotto; dal mio salotto al centro di Milano ci sono 250 km.
Dalla mia cucina al centro di Milano ci sono 250 km.
Quindi che distanza c'e' tra il mio salotto e la cucina ? Apparentemente la distanza e' nulla, perche' 250 - 250 = 0.
Ma io so che non e' cosi': se devo spostare un mobile dalla cucina al salotto so che devo fare alcuni metri.
Quindi che distanza c'e' ? Dipende da cosa devo fare.
Se devo fare un viaggio da qui a Milano, mi interessa poco che ci siano 5 metri dal salotto alla cucina, o alla porta di ingresso.
In altre situazioni mi interessa.
Tornando ai dipoli, in questo momento il tuo smartphone riceve dei segnali da un antenna. L'antenna si comporta piu' o meno come un dipolo. L'antenna sara' lunga 0.5 metro e si trova a 500 metri da te.
Per cui possiamo considerare l'antenna come un dipolo ideale.
Magari ci possono essere 2 antenne molto vicine tra di loro, e quindi se devo tenere conto delle interferenze, non posso piu' considerare l'antenna come ideale, ma devo tenere conto dell'esatta distribuzione delle cariche.

[eternauta]

Ciao, e grazie per la tua ulteriore gentilissima risposta.

Se mi dai modo volevo chierire meglio quello che mi "perplimeva" , mi spiego:
quello che dici è sacrosanto e lo comprendo bene, tuttavia a lasciarmi incuriosito è questo fatto, in realtà già rPQ≈rPO−dcosθ (1) è una approssimazione, infatti per ottenerla devo supporre r->oo.

Quindi mi chiedevo quando io uso rPQ≈rPO (2) è sempre r->oo.

Insomma, non è tanto l'approssimazione in sé a crearmi grattacapi, quanto piuttosto che sono entrambe considerazioni a limite asintotico di r infinito.
Ora, mi chiedo, (1) V/S (2) come devo interpretarle? Che la (2) è un limite a r->oo ancora più spinto? un $r->oo^2$, non so se ho spiegato meglio il dubbio.

Insomma, è di questo più che altro che chiedevo il perché