Momento d'inerzia sistema di dischi

Buongiorno a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di questo problema:
15 dischi identici sono stati saldati assieme in modo da assomigliare ad una barra di lunghezza totale 0,5 m e massa totale 0,6 kg. Tale insieme può ruotare attorno ad un asse perpendicolare che passa per il suo centro. Calcolare il momento d'inerzia del sistema di dischi rispetto a tale asse di rotazione.

So per certo che il risultato è 0,013 kgm^2

Ultima modifica di Claudiaaa il 18/09/2023, 13:23, modificato 1 volta in totale.

Il corpo in questione è costituito da quindici dischi saldati assieme che assomiglia ad un'asta, dato che sono stati saldati uno in fila all'altro, ma non c'è nessuna asta nel corpo in esame. Pertanto, il momento d'inerzia dell'intero sistema lo si ottiene sommando i contributi di ciascun disco, ossia per ciascun disco applicherai Huygens-Steiner sommando il momento d'inerzia riferito al rispettivo centro di massa con il termine di trasporto che tiene conto della distanza tra l'asse baricentrico e l'asse di rotazione. Prova e vedi se ti esce.

Ciao Claudiaaa, benvenuta nel Forum

Beh, il conto esatto è quello suggerito da @sellacollesella, ma se si brutalizza un poco il problema e si approssima effettivamente la fila di dischi come un'asta di lunghezza L e massa M si ottiene:

$I = (M*L^2)/12 = (0.6*0.5^2)/12 = 0.0125 kg m^2$

per cui si potrebbe già selezionare la risposta C, visto che le altre risposte sono sufficientemente distanti dal valore di cui sopra.

Nota: comunque se ho fatto bene i conti la risposta esatta è veramente molto simile a quella approssimata.

Spinto dalla curiosità, ho indicato con \(n\) il numero di dischi sia a sinistra che a destra del disco centrale, quindi ho calcolato il momento d'inerzia di tale corpo rispetto all'asse baricentrico del disco centrale: \[
\begin{aligned}
I_O
& = (2n+1)\frac{mr^2}{2} + \underbrace{2m(2r)^2 + 2m(4r)^2 + 2m(6r)^2 + \dots}_{n} \\
& = (2n+1)\frac{mr^2}{2} + 2mr^2\sum_{k=0}^n (2k)^2 \\
& = (2n+1)\frac{mr^2}{2} + \frac{4}{3}n(n+1)(2n+1)mr^2 \\
& = \frac{(2n+1)(8n^2+8n+3)}{6}mr^2 \\
\end{aligned}
\] e a ruota il medesimo momento d'inerzia assumendo che tale corpo sia un'asta sottile: \[
I_O' = \frac{(2n+1)m\left((2n+1)(2r)\right)^2}{12} = \frac{(2n+1)^3}{3}mr^2.
\] In tal modo risulta possibile calcolare l'errore percentuale che si commette in tale assunzione: \[
E(n) := 100\,\frac{I_O-I_O'}{I_O} = \frac{100}{8n^2+8n+3}
\] e tabulandolo per \(n\) che varia da \(0\) a \(7\) si ottiene: \[
\begin{array}{|c||c|}
\hline
n & E(n) \\
\hline
0 & 33.3 \\
\hline
1 & 5.26 \\
\hline
2 & 1.96 \\
\hline
3 & 1.01 \\
\hline
4 & 0.61 \\
\hline
5 & 0.41 \\
\hline
6 & 0.29 \\
\hline
7 & 0.22 \\
\hline
\end{array}
\] dove si evince che già da \(n=3\), quindi sette dischi totali, l'errore percentuale risulta infimo!

Eccellente analisi!