Esercizio Mecc. quantistica

Raga mi servirebbe una mano per questo esercizio. Dal momento che non ho le soluzioni degli esercizi e chat GPT non è per niente affidabile, chiedo a voi per capire se i miei ragionamenti sono giusti o sbagliati. Uno di questi esercizi recita:



Allora per quanto riguarda il punto 1, per prima cosa devo determinare gli autovalori dell'energia totale delle due particelle, cioè: $$\hat H_{tot}|\psi \rangle = (\hat H(1) + \hat H(2))|\psi \rangle = \lambda_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle $$

Quindi calcolo prima gli autovalori corrispondenti agli autoket delle due Hamiltoniane separatamente:

$$\hat H(1)|\psi \rangle = \frac {1} {\sqrt {2}} ((\hat H(1)|1 \rangle_{1}) \otimes |2 \rangle_{2} + e^{i\alpha} (\hat H(1)| 2 \rangle_{1}) \otimes |1 \rangle_ {2}) = \frac {1} {\sqrt {2}} ((E_{1}(1)|1 \rangle_{1}) \otimes |2 \rangle_{2} + e^{i\alpha} (E_{2}(1)| 2 \rangle_{1}) \otimes |1 \rangle_ {2}) = $$

$$= (E_{1}(1) + E_{2}(1))|\psi \rangle = \lambda(1) |\psi \rangle$$

Uno stesso ragionamento va fatto per l'Hamiltoniana della particella 2 e otteniamo:

$$\hat H(2) |\psi \rangle = (E_{2}(2) + E_{1}(2))|\psi \rangle = \lambda(2) |\psi \rangle$$

A questo punto possiamo scriver che:

$$ \hat H_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle = (E_{1}(1) + E_{2}(1) + E_{2}(2) + E_{1}(2))|\psi \rangle$$

I valori di energia per entrambe le particelle, nel caso di una buca quadrata infinita di potenziale, saranno al variare di n (le a nelle due direzioni saranno uguali):

$$E_{n} = \frac {\hbar^2 \pi^2 n^2} {2 m a^2}$$

Sostituendo nella formula superiore ci possiamo trovare il lambda totale:

$$ \hat H_{tot} |\psi \rangle = (\lambda(1) + \lambda(2))|\psi \rangle = (\frac {\hbar^2 \pi^2} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 4} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 4} {2 m a^2} + \frac {\hbar^2 \pi^2 } {2 m a^2})|\psi \rangle = \frac {10 \hbar^2 \pi^2} {2 m a^2}|\psi \rangle$$

Quindi come risultato ottengo:

$$\lambda_{tot} = \frac {10 \hbar^2 \pi^2} {2 m a^2}$$

Però non lo so, poi quando mi chiede le probabilità? c'è qualcosa che non va.

Se una particella è in stato 1 e l'altra in stato 2, l'energia totale sarà proporzionale a \(1^2 + 2^2 = 5\) (il fattore di proporzionalità è il termine che moltiplica n^2 nell'energia di singola particella), no?
Se controlli bene la tua derivazione, noterai un errore nel penultimo passaggio ...