Assioma ent fondamentali

Buongiorno ragazzi,

C'è un'assioma che riguarda gli enti fondamentali della Geometria che non mi è chiaro. Ai fini dei concorsi è relativo, perchè non faccio prove orali, però stavo provando a capirlo e non mi riesce:

Per 3 punti distinti non allineati, passa uno ed un solo piano.

Sul libro dice, per un punto infiniti piani, per due punti ancora inifniti, solo se fissiamo 3 punti ne passa uno ed uno solo...

Ma ho pensato a questa situazione: non ho trovato due piani distinti che passano per i 3 punti? E ne potrei disegnare tanti altri. Ne ho disegnato uno blu ed uno rosso

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Quelli sono rettangoli, non piani. Se tu ti limiti a due dimensioni, l'assioma è piuttosto banale dato che esiste un solo piano. Per visualizzarlo dovresti passare a 3 o più dimensioni.

Ok vict, però come si giustifica che per un punto ne passano infiniti ed anche che per 2 punti ne passano infiniti? Il passaggio al terzo punto ed un solo piano qual è?

L'esempio che ho è questo: prendiamo un pezzo di cartoncino rigido e fissiamo un punto; "è evidente" che il cartoncino può assumere varie posizioni ed ognuna rappresenta un piano. Se fissiamo due punti del cartoncino, anche questa volta assume diverse posizioni; solo mantenendo fissi tre suoi punti, il cartoncino rimane fisso.

Mi aiutate magari a capire quell'esempio, forse sta tutto lì

È un assioma, quindi non può essere dimostrato usando gli assiomi di Hilbert. Fai tre fori non allineati ad un cartoncino e passaci due fili. Vedrai che se fissi gli estremi dei due fili fissi anche il cartoncino. Ovviamente usando l'algebra lineare o altre teorie simili è possibile dimostrarlo.

Ok vict, però come si giustifica che per un punto ne passano infiniti ed anche che per 2 punti ne passano infiniti? Il passaggio al terzo punto ed un solo piano qual è?

L'esempio che ho è questo: prendiamo un pezzo di cartoncino rigido e fissiamo un punto; "è evidente" che il cartoncino può assumere varie posizioni ed ognuna rappresenta un piano. Se fissiamo due punti del cartoncino, anche questa volta assume diverse posizioni; solo mantenendo fissi tre suoi punti, il cartoncino rimane fisso.

Mi aiutate magari a capire quell'esempio, forse sta tutto lì

Immagina l'anta di una porta.
Essa è un oggetto fisico che assomiglia ad un piano fissato in due punti (i cardini): come puoi vedere, nonostante sia fissata in due punti, la porta/piano è ancora libera di ruotare attorno alla retta che passa per i cardini (che è unica per altro assioma).
Ciò ti fa intuire che non basta fissare due punti per determinare univocamente un piano, perché il piano si può far ruotare attorno a(lla retta individuata da)i due punti.

Se la situazione è questa quando hai fissato due punti, è chiaro che non può migliorare se fossi un solo punto.
Per capire, pensa al cartoncino.
Se lo mantieni per un vertice, glielo puoi girare attorno inclinandolo come ti piace.
Ciò ti fa intuire che non basta fissare un punto per determinare univocamente un piano, perché il piano si può far ruotare attorno a quel punto.

Per la faccenda dei tre punti, pensa di nuovo all'anta.
Se hai tre cardini allineati, l'anta continua a poter ruotare attorno alla retta che essi determinano; quindi tre punti allineati non bastano a determinare univocamente un piano.
Se, invece, hai due punti nei cardini ed un terzo punto scelto a caso nella zona in cui può ruotare l'anta, appena fai ruotare l'anta attorno ai cardini ti accorgi che c'è un'unica posizione dell'anta che passa per il terzo punto.
Ciò ti fa intuire che tre punti non allineati bastano per determinare univocamente un piano.

Esempio fantastico gugo! Stavo rileggendo un pò i post per trovare una cosa e mi ero perso questa risposta! Davvero interessante l'esempio con la porta, l'ho capito, illuminante direi!^^

Esempio fantastico gugo! Stavo rileggendo un pò i post per trovare una cosa e mi ero perso questa risposta! Davvero interessante l'esempio con la porta, l'ho capito, illuminante direi!^^

Prego.
Quello della porta è un esempio che uso sempre per far capire la faccenda ai miei studenti.