da 3m0o » 16/07/2023, 14:07
No ma non ce l'avevo con i liceali, ne con i docenti, ne niente per carità. E' davvero una domanda di curiosità la mia!
Dico solo che in \( \mathbb{R} \) ci sono due numeri \(x_1,x_2\) con la proprietà che il quadrato è \(2\), uno è \(x_1 =1.4142...\) l'altro è \(x_2=-1.4142\) e questa è una proprietà solamente algebrica, e fintanto che facciamo solo algebra sono indistinguibili, nel senso che indipendentemente dal fatto che diciamo che il simbolo \( \sqrt{2} = x_1\) o che scegliamo \( \sqrt{2} = x_2 \) abbiamo che \(x_1=-x_2\), abbiamo che per esempio \( (1+\sqrt{2})^{-1} = \sqrt{2} - 1 \), e queste sono verità deducibili soltanto dalla proprietà che \(\sqrt{2} \) al quadrato è \(2\) indipendentemente da quale dei due numeri intendiamo. Cioè valgono sia per \(x_1\) che per \(x_2\). E queste proprietà non sono per nulla legate a \( \mathbb{R} \), laddove esiste la radice di 2, ad esempio in \( \mathbb{F}_7 \) abbiamo ad esempio \(x_1 = 3 \) e \(x_2=4 \) e anche qui abbiamo che \(x_1=-x_2\) oppure \( (1+\sqrt{2})^{-1} = \sqrt{2} -1 \) indipendentemente dalla scelta di chiamare \(x_1\) o \(x_2\) con il simbolo \( \sqrt{2}\).
Tutto ciò che distingue \(x_1\) da \(x_2\) non è una proprietà algebrica che segue dalla definizione di radice di \(2\), già dire che \(x_1 \) è positivo e \(x_2\) è negativo vuol dire dare un ordine a \( \mathbb{R} \), ma se non abbiamo nessun ordine come le distingui? Certo in altri modi, però attenzione la radice di \(2\) può esistere anche laddove non c'è nessun ordine! Sono d'accordo che la funzione \( \sqrt{x} \) su \( \mathbb{R}_{\geq 0} \) è definita appunto prendendo il valore positivo, ma è un oggetto differente questo, che per definire in un certo senso devi già avere la conoscenza del esistenza dei due oggetti! Il motivo per esempio per cui è definita soltanto sui non negativi è che in \( \mathbb{R} \) ad esempio non esistono numeri che soddisfano la proprietà che moltiplicato per se stesso mi dia \(-1\). Quindi lì non la definisco, mentre se esistono ne scelgo una, e questa funzione in particolare è definita scegliendo quella positiva!. Per distinguere la funzione, chiamiamola \(r(x) \) che per definizione associa ad \(x\) la soluzione positiva a \(y^2-x= 0 \) se esiste.
Nel caso di \(2\) con la convenzione che \( \sqrt{2} \) rappresenta \(1.4142...\) abbiamo che \( r(2) = \sqrt{2} \) mentre se prendessimo la convenzione che \( \sqrt{2} \) rappresenta \( -1.4142...\) allora avremmo \( r(2) = - \sqrt{2} = 1.4142... \) e tutto quello che dici Martino non cambia!
Quello che voglio dire è che la scelta \(x_1= \sqrt{2}\) o \(x_2 = \sqrt{2} \) è davvero arbitraria, e per convenzione (che fanno tutti generalmente) è dire che \( x_1 = \sqrt{2} \), proprio perché penso sia comodo poi per definire la funzione \(r\) così da non stare a diventare matti, ma anche capire che è una convenzione lo ritengo importante, perché più in là, molto più in là, diventa importante rendersi conto che è solo una scelta arbitraria che si fa. Allora perché non spiegare questa cosa? L'argomentazione "si crede [...] sia troppo difficile per le zucche degli studenti" è un argomentazione che mi convince poco, nel senso che io non penso sia vero che sia troppo difficile spiegare che è solo un simbolo che per convenzione indica il numero \(1.4142...\).