Ipercubo

Quanti vertici, spigoli, facce, cubi 3D sono contenuti in un ipercubo 4D?

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16 vertici
32 spigoli
24 facce
8 cubi

Rilancio il problema:

quanti vertici, spigoli, facce, cubi e ipercubi ci sono in un $5$-cubo (un ipercubo 5D) ?

In generale quanti "oggetti" di dimensione $d$, con $d< n$, si possono contare in un $n$-cubo ?

In un cubo 5D ci sono:

32 vertici
80 spigoli
80 facce
40 cubi 3D
10 cubi 4D

vertici=$2^N$ , dove N è la dimensione dell'ipercubo. Io ho usato la logica delle traslazioni: un punto traslato è uno spigolo(o lato), uno spigolo traslato è una faccia 2D (Un quadrato), una faccia traslata è un cubo 3D, un cubo traslato è un cubo 4D . I numeri degli oggetti raddoppiano e vanno sommati agli oggetti della stessa dimensione ottenuti dalla traslazione. Per esempio un cubo 4d i 32 vertici generano per traslazione 64 vertici che devono essere sommati ai 16 vertici che traslando diventano spigoli per un totale di 80 spigoli.

Corretta la soluzione per cubo 5D, va bene il ragionamento che segue, pero' manca un po' di generalita'.
Nota di servizio: di solito in questa sezione le soluzioni si mettono sotto spoiler, in modo che che vuole provare a risolvere il problema non vede subito la soluzione.

Vediamo adesso di trovare il modo per una soluzione generica.

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Come esempio iniziale prendiamo un cubo 3D di volume 1.
Uno degli spigoli si puo' descrivere in questo modo: $(0, 1, -)$.
In forma di equazioni sarebbe $x = 0, y = 1, z \in [0,1]$
Il trattino sta ad indicare quindi una variabile libera di spaziare tra $0$ e $1$.
Questo e' un altro spigolo: $(0, -, 0)$ e questo un altro ancora: $(-, 1, 1)$.
Ed e' praticamente gia' tutto fatto.
Un oggetto di dimensioni $d$ in un cubo di dimensioni $n$, si esprime come un vettore di $n$ componenti in cui ci sono $d$ trattini (variabili libere).
I trattini devono permutare in tutte le posizioni possibili.
Le altre variabili, per ogni disposizione di trattini, assumono tutte le combinazioni di valori $0$ o $1$.
Quindi ci sono $((n), (d))$ (binomiale) modi di disporre i trattini e $2^{n-k}$combinazioni di $0$ o $1$.
Il numero totale di oggetti e': $((n), (d))\ 2^{n-d}$

Provo

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Un $n$-cubo è identificato dalle equazioni
$$\begin{cases}
x_1 = -1; x_1=1\\
\dots\\
x_n = -1; x_n=1
\end{cases}$$
Un suo iperpiano di dimensione $n-k$ si ottiene intersecando $k$ di questi iperpiani, purché non paralleli tra loro. Il che corrisponde a scegliere $k$ variabili distinte $x_i$ (il che si può fare in $((n), (k))$ modi diversi) e assegnare loro i valori $1,-1$ (il che si può fare in $2^k$ modi diversi).\\
Quindi un $n$-cubo ammetterà $2^k((n), (k))$ $(n-k)$-cubi, nello specifico nel 4-cubo:
$2^4((4), (4))=16$ vertici
$2^3((4), (3))=32$ spigoli
$2^2((4), (2))=24$ facce
$2^1((4), (1))=8$ 3-cubi