Monotonia funzione composta

Buongiorno devo studiare la monotonia della seguente funzione y=(2x-1)^x (elevato a x..mi scuso non riesco ad usare simboli Latex). la mia difficoltà è la seguente: ho studiato la teoria della monotonia di f.composte e, se non ho capito male, vale la seguente regola (chiamata anche regola dei segni): la f. esterna "guida" la composizione: se è strettamente crescente conserva nella composizione la monotonia della f. interna, al contrario la inverte.
Disegnando su Geogebra la mia funzione osservo che sull'intervallo (1/2; +infinito) è strettamente crescente.
Questo è vero sicuramente per x>1 poichè sia la f. esterna che quella interna sono strettamente crescenti e quindi tutto torna...ma mi incasino sull'intervallo (1/2;1)..la funzione esterna "dovrebbe" essere decrescente (esponenziale a base compresa tra 0 e 1)..quindi invertire nella f. composta la monotonia della funzione interna (retta a coefficiente angolare positivo) che è strettamente crescente..in sintesi la composta su quell'intervallo dovrebbe essere strett. decrescente. (Rilevo un cambio di concavità ma non lo abbiamo ancora studiato).
sicuramente mi sbaglio da qualche parte e magari non ho digerito bene la composizione di funzioni...
infine mi sono spulciato prima il forum per vedere se trovavo esempi e ho trovato un post dell'utente Seneca che sembra confutare anche lui la regola sulla monotonia della composizione (fornisce un esempio di monotonia di una composizione che contraddice la regola)...quindi sono piuttosto confuso..allego link al post https://www.matematicamente.it/forum/studio-monotonia-funzione-t54394.html il suo intervento è il 2° in risposta all'utente. Ringrazio chiunque mi chiarirà questi dubbi. Se ho sbagliato a postare l'intervento di un altro utente me ne scuso

Le regole dovrebbero (condizionale) essere queste:
$h(x) = g(f(x))$

V(ero): monotona
F(also): non monotona

Codice:

g(x) f(x) h(x)
V     V    V
F     V    F
V     F    V
F     F    V/F

L'ultima riga significa che due funzioni non monotone possono anche dare luogo a una funzione monotona.

Innanzitutto grazie mille per la risposta!
Ma il mio dubbio riguardava la "direzione" della monotonia della funz. composta nell'intervallo (1/2;1) essendo entrambe le funzioni monotone.
il grafico di Geogebra la dà strettamente crescente...secondo la teoria (almeno per quello che ho capito io) dovrebbe essere strett. decrescente...non so forse sto pretendendo troppo senza impiegare le derivate (che so cosa sono ma non posso usare)
grazie ancora!

il grafico di Geogebra la dà strettamente crescente...secondo la teoria (almeno per quello che ho capito io) dovrebbe essere strett. decrescente...

Eh... c'e' un problema alla base della tua funzione.
$y(x) = (2x-1)^x$ non puo' essere la composizione di due funzioni.
Ovvero non esistono due funzioni $g(f)$ e $f(x)$, tali per cui $g(f(x)) = (2x-1)^x$.
La $f(x)$ potrebbe essere sicuramente $f(x) = 2x-1$, e fin qui ci siamo.
Ma la $g(f)$ ???
Tieni presente che nella $g(f)$ non puo' comparire la $x$, cioe' non va bene $g(f) = f^x$ !
Quindi tutte le considerazioni sulle funzioni composte non si applicano piu'.

Invece, si, per le funzioni composte vale la regola simile a quella dei segni.

Per quanto riguarda la funzione interna:

$f(x)=2x-1$

e per quanto riguarda la funzione esterna:

$g(x)=x^[(x+1)/2]$

Del resto, solo così:

$(2x-1)^x=g(f(x))$

... la funzione esterna "dovrebbe" essere decrescente (esponenziale a base compresa tra 0 e 1) ...

Insomma, la funzione esterna non è assolutamente una funzione esponenziale con base costante compresa tra 0 e 1, piuttosto:

$g(x)=x^[(x+1)/2]$

strettamente crescente nel suo dominio naturale. A questo punto, ridurre lo studio della funzione iniziale:

$(2x-1)^x$

allo studio della funzione sottostante:

$x^[(x+1)/2]$

non sembra essere una semplificazione degna di nota.

Ultima modifica di Noodles il 10/05/2024, 20:15, modificato 1 volta in totale.

Ok, con questa funzione ingegnosa si riesce a fare la funzione composta.
Pero', da un certo punto di vista si vuole scomporre la funzione di partenza per studiarne la derivata in modo piu' semplice, e quindi mi correggo e dico che non c'e' un modo semplice per scomporre la funzione di partenza.

@ Quinzio

Infatti mi hai preceduto (stavo aggiungendo qualcosa).

Ringrazio tutti per le risposte esaustive e molto chiare..soprattutto in tema della composizione di funzioni..non ho prestato la dovuta attenzione all'"annidamento"...e in effetti adesso tutto torna...grazie ancora!