geoemtria analitica nello spazio

Volevo chiedere aiuto in questo esercizio perchè non saprei come muovermi . Considera la retta r di equazione x-z=1; y=2z e il punto di coordinate P (1,1,2) . Determina l'equazione della retta perpendicolare a r, passante per P e parallela al piano di equazione x ＋y＝1．

Trovi un vettore parallelo ad $r$ che puo' essere $r = (1, 2, 1)$.
Trovi il vettore normale al piano $x+y =1$ che sarebbe $n = (1, 1, 0)$.

La retta cercata e' parallela al piano e quindi e' perpendicolare alla normale del piano.
Inoltre deve essere perpendicolare alla retta $r$.
Quindi: perpendicolare alla normale e perpendicolare alla retta. Come si fa ? Si usa il prodotto vettoriale.
$n \times r = (1, 2, 1) \times (1,1,0) = (-1, 1, -1)$.

Quindi la retta cercata, in forma parametrica, che passa per $P$ e' $(-t+1, t+1, -t+2)$

Oppure in forma cartesiana
$x+y-2 = 0$,
$y+z-3=0$

Una retta è univocamente determinata quando sono noti un suo punto e la sua direzione: \[
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+(a,b,c)t, \quad\quad t\in\mathbb{R}.
\] Siccome un suo punto sappiamo essere \(P\), ci basta determinare un vettore direttore \((a,b,c)\ne(0,0,0)\).

Per determinarlo basta imporre che sia perpendicolare ai vettori direttori della retta \(r\) e del piano \(\pi\).

Grazie mille per la risposta però la mia prof non vuole che non utilizziamo il prodotto vettoriale se ci sarebbe un altro modo perché io ci sto pensando ma non lo trovo

la mia prof non vuole che non utilizziamo il prodotto vettoriale

Come sopra scritto, è sufficiente imporre che \((a,b,c)\) sia perpendicolare ai vettori direttori di \(r\) e \(\pi\). A tale scopo sono certo che la vostra professoressa vi ha detto di imporre il loro prodotto scalare uguale a zero. Provaci, vedi che equazioni ti escono, e in caso di difficoltà mostra i passaggi che cerchiamo di aiutarti.

ok grazie , però non ho capito io ho il vettore direzione (1,2,1) e il vettore n (1,1,0) il prodotto scalare tra chi dovrei farlo non ho capito sto passaggio

Essendo noti i seguenti enti geometrici: \[
P(1,1,2)
\quad\quad\quad\quad
r\,:\begin{cases}
x-z-1=0\\
y-2z=0\\
\end{cases}
\quad\quad\quad\quad
\pi\,:\,x+y-1=0
\] ed essendo incognito quest'altro ente geometrico: \[
s\,:\,(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+(a,b,c)t, \quad\quad t\in\mathbb{R}
\] con \((a,b,c)\ne(0,0,0)\), il testo dell'esercizio impone: \[
(x_0,y_0,z_0)=P,
\quad\quad\quad\quad
(a,b,c)\cdot\mathbf{v}_r=0,
\quad\quad\quad\quad
(a,b,c)\cdot\mathbf{v}_{\pi}=0.
\] A te proseguire.

sto capendo ma per il prodotto scalare quello a b c * vr e a b c * vpigreco a b c sono punti che devo prendere che passano sia sulla retta sia sul piano

\((a,b,c)\ne(0,0,0)\) è un vettore direttore incognito della retta \(s\).

\(\mathbf{v}_r=(1,2,1)\) è un vettore direttore noto della retta \(r\).

\(\mathbf{v}_{\pi}=(1,1,0)\) è un vettore direttore noto del piano \(\pi\).

Siccome vogliamo che sia \(s\perp r\) e \(s\parallel\pi\), allora imponiamo: \[
(a,b,c)\cdot(1,2,1)=0, \quad\quad\quad (a,b,c)\cdot(1,1,0)=0.
\] Come vedi, non ci sono punti in gioco, solo vettori direttori.

Non rimane che sviluppare tali prodotti e maneggiare le equazioni che ne escono. Forza!

quindi uscirebbe un sistema a due :
a+2b+c=0
a+b=0