Traccia la curva di equazione \(\displaystyle y=\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \) e determina il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all'asse \(\displaystyle x \) della regione di piano delimitata dall'asse \(\displaystyle x \), dalla curva e dal suo asintoto obliquo, nell'intervallo \(\displaystyle [0;1] \).
Dunque, ho calcolato la retta associata all'asintoto obliquo pari a \(\displaystyle y=x-1/2 \) e, facendo qualche calcolo di massima (dominio, asintoto verticale, segno, derivata prima), ho tracciato l'andamento della funzione almeno per la parte che mi interessa, cioé per \(\displaystyle x>0 \):
Ora, è corretto calcolare il volume come segue?
\(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}}-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right ]^{2} dx \)
Il risultato del libro è:
\(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{19}{24}-\ln2 \right ) \)
A me viene \(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{5}{6}-\ln2 \right ) \), che è però il risultato, errato, del calcolo \(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx \), in cui non avevo considerato il fatto che da 1/2 a 1 c'è l'asintoto obliquo.
Ammetto di aver fatto qualche esperimento con Wolfree e Geogebra, ma facendo la somma dei due integrali proposta sopra, il risultato continua a non coincidere con quello del libro:
- Codice:
rotate the region between Sqrt[Divide[Power[x,3],x+1]]and x=0 with 0<x<Divide[1,2] around the x-axis
Il volume è pari a circa 0,096.
- Codice:
rotate the region between Sqrt[Divide[Power[x,3],x+1]]and (x-Divide[1,2]) with Divide[1,2]<x<1 around the x-axis
Il volume è pari circa a 0,274.
La somma però è diversa da 0,3095 che è quella ottenuta sviluppando il risultato del libro.
Qualcuno potrebbe darmi qualche dritta?
Grazie
