Calcolo volume solido di rotazione con asintoto obliquo

Carissimi buongiorno. Sono alle prese con il seguente esercizio (pag. 625 n. 353 del "Matematica C.V.D. Ed. Blu"):

Traccia la curva di equazione \(\displaystyle y=\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \) e determina il volume del solido generato dalla rotazione completa intorno all'asse \(\displaystyle x \) della regione di piano delimitata dall'asse \(\displaystyle x \), dalla curva e dal suo asintoto obliquo, nell'intervallo \(\displaystyle [0;1] \).

Dunque, ho calcolato la retta associata all'asintoto obliquo pari a \(\displaystyle y=x-1/2 \) e, facendo qualche calcolo di massima (dominio, asintoto verticale, segno, derivata prima), ho tracciato l'andamento della funzione almeno per la parte che mi interessa, cioé per \(\displaystyle x>0 \):



Ora, è corretto calcolare il volume come segue?

\(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}}-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right ]^{2} dx \)

Il risultato del libro è:

\(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{19}{24}-\ln2 \right ) \)

A me viene \(\displaystyle V=\pi \left ( \frac{5}{6}-\ln2 \right ) \), che è però il risultato, errato, del calcolo \(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx \), in cui non avevo considerato il fatto che da 1/2 a 1 c'è l'asintoto obliquo.
Ammetto di aver fatto qualche esperimento con Wolfree e Geogebra, ma facendo la somma dei due integrali proposta sopra, il risultato continua a non coincidere con quello del libro:

Codice:

rotate the region between Sqrt[Divide[Power[x,3],x+1]]and x=0 with 0<x<Divide[1,2] around the x-axis

Il volume è pari a circa 0,096.

Codice:

rotate the region between Sqrt[Divide[Power[x,3],x+1]]and (x-Divide[1,2]) with Divide[1,2]<x<1 around the x-axis

Il volume è pari circa a 0,274.

La somma però è diversa da 0,3095 che è quella ottenuta sviluppando il risultato del libro.

Qualcuno potrebbe darmi qualche dritta?

Grazie

\(\displaystyle V=\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}} \right ]^{2} dx+\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left [\sqrt{\frac{x^{3}}{x+1}}-\left ( x-\frac{1}{2} \right ) \right ]^{2} dx \)

Mi sembrerebbe più semplice calcolare l'integrale del primo termine fra 0 e 1 e poi sottrarre il volume del cono formato dall'asintoto con vertice 1/2, che, se non sbaglio, vale $1/3 *1/2 *pi* (1/2)^2 = pi/24$

Perfetto, adesso è corretto

Grazie, gentilissimo