Pagina 2 di 2

Re: Funzione inversa

MessaggioInviato: 25/04/2024, 22:41
da HowardRoark
gugo82 ha scritto:
Considera la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo $f(x) = 2x + 1$.
La $f$ è invertibile? Perché?

Perché è iniettiva.

gugo82 ha scritto:Come trovi l'inversa di $f$? Perché?

Esplicitando la x in funzione della y: $x=1/2y-1/2$

gugo82 ha scritto:Ora prova a cambiare l'espressione di $f$, tipo $f(x)=x^2$.
Questa funzione è invertibile? Perché?

No, perché non è iniettiva. Chiaramente anche $x^2+x+2$ non è invertibile per lo stesso motivo, però restringendo il dominio a $[-1/2, +oo)$ lo diventa (iniettiva) e quindi la posso invertire.



gugo82 ha scritto:Come trovi l'inversa di $f$? Perché?

Sempre risolvendo rispetto ad $x$, stando attento a prendere la soluzione $(sqrt(4y-7)-1)/2$ perché il dominio della funzione di partenza diventa l'insieme di arrivo dell'inversa. In effetti $(sqrt(4y-7)-1)/2>=-1/2$ sempre, e va a $+oo$ per $y->+oo$.
Credo di aver fatto la stessa cosa rispetto all'esempio che hai fatto all'inizio, ho solo fatto confusione.
Grazie mille per i quesiti chiarificatori, adesso credo di aver capito.1

Note

  1. anziché considerare $x^2$ ho preso la funzione che dovevo invertire, comunque per $x^2$ si prende come dominio $[0,+oo)$ e si inverte come $x=sqrt(y)$

Re: Funzione inversa

MessaggioInviato: 26/04/2024, 11:12
da Mephlip
HowardRoark ha scritto:Perché è iniettiva.

Quindi anche \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definita ponendo \(g(x):=2x+1\) è invertibile? Anche questa è iniettiva.

Re: Funzione inversa

MessaggioInviato: 26/04/2024, 14:38
da HowardRoark
Mephlip ha scritto:Quindi anche \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definita ponendo \(g(x):=2x+1\) è invertibile? Anche questa è iniettiva.

$CC$ immagino siano i numeri complessi, che per il momento non sto studiando. Per le funzioni $f: RR -> RR$ sono sicuro che l'iniettività sia condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità1, per gli scopi che ho ora mi basta sapere questo.

Note

  1. Ci sarebbe da considerare anche la suriettività, però affinché questa sia sempre verificata basta restringere l'insieme di arrivo all'insieme delle immagini della funzione. Ad esempio per $y=x^2$, se anziché prendere la funzione da $RR->RR$ la prendo da $RR->[0,+oo)$, questa diventa suriettiva. Se poi applico anche la restrizione del dominio a $[0,+oo)$ diventa anche iniettiva e la posso invertire.

Re: Funzione inversa

MessaggioInviato: 27/04/2024, 16:36
da Mephlip
Non è corretto così come è scritto: scrivendo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), già sottintendi che il codominio sia \(\mathbb{R}\) e in tal caso non è affatto vero che l'iniettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità. Al più, come dici successivamente nella nota, puoi dire che per \(f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R})\) l'iniettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità.

Sì, \(\mathbb{C}\) sono i complessi.