Funzione inversa

Considera la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo $f(x) = 2x + 1$.
La $f$ è invertibile? Perché?

Perché è iniettiva.

Come trovi l'inversa di $f$? Perché?

Esplicitando la x in funzione della y: $x=1/2y-1/2$

Ora prova a cambiare l'espressione di $f$, tipo $f(x)=x^2$.
Questa funzione è invertibile? Perché?

No, perché non è iniettiva. Chiaramente anche $x^2+x+2$ non è invertibile per lo stesso motivo, però restringendo il dominio a $[-1/2, +oo)$ lo diventa (iniettiva) e quindi la posso invertire.

Come trovi l'inversa di $f$? Perché?

Sempre risolvendo rispetto ad $x$, stando attento a prendere la soluzione $(sqrt(4y-7)-1)/2$ perché il dominio della funzione di partenza diventa l'insieme di arrivo dell'inversa. In effetti $(sqrt(4y-7)-1)/2>=-1/2$ sempre, e va a $+oo$ per $y->+oo$.
Credo di aver fatto la stessa cosa rispetto all'esempio che hai fatto all'inizio, ho solo fatto confusione.
Grazie mille per i quesiti chiarificatori, adesso credo di aver capito.¹

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Note

1. anziché considerare $x^2$ ho preso la funzione che dovevo invertire, comunque per $x^2$ si prende come dominio $[0,+oo)$ e si inverte come $x=sqrt(y)$ ↑

Perché è iniettiva.

Quindi anche \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definita ponendo \(g(x):=2x+1\) è invertibile? Anche questa è iniettiva.

Quindi anche \(g:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) definita ponendo \(g(x):=2x+1\) è invertibile? Anche questa è iniettiva.

$CC$ immagino siano i numeri complessi, che per il momento non sto studiando. Per le funzioni $f: RR -> RR$ sono sicuro che l'iniettività sia condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità¹, per gli scopi che ho ora mi basta sapere questo.

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Note

1. Ci sarebbe da considerare anche la suriettività, però affinché questa sia sempre verificata basta restringere l'insieme di arrivo all'insieme delle immagini della funzione. Ad esempio per $y=x^2$, se anziché prendere la funzione da $RR->RR$ la prendo da $RR->[0,+oo)$, questa diventa suriettiva. Se poi applico anche la restrizione del dominio a $[0,+oo)$ diventa anche iniettiva e la posso invertire. ↑

Non è corretto così come è scritto: scrivendo \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), già sottintendi che il codominio sia \(\mathbb{R}\) e in tal caso non è affatto vero che l'iniettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità. Al più, come dici successivamente nella nota, puoi dire che per \(f:\mathbb{R}\to f(\mathbb{R})\) l'iniettività è condizione necessaria e sufficiente per l'invertibilità.

Sì, \(\mathbb{C}\) sono i complessi.