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Considera una semicirconferenza di diametro $ AB $, centro $ O $ e raggio $ r $ e traccia la semiretta $ t $ di origine $ O $ perpendicolare ad $ AB $, che giace, rispetto ad $ AB $, dalla stessa parte della semicirconferenza.Considera un punto $ P $, sulla semiretta $ t $, esterno alla semicirconferenza, e conduci da $ P $ le rette tangenti alla semicirconferenza, indicando con $ Q $ e $ R $ i loro punti d’intersezione con la retta $ AB $.Sia $ T $ il punto di contatto di $ PQ $ con la semicirconferenza e $ S $ il punto di contatto della retta $ PR $ con la semicirconferenza.
Determina la posizione di $ P $, in modo che l’area del triangolo $ PQR $ sia otto volte l’area del triangolo $ OTQ $.In corrispondenza del punto $ P $ trovato al punto precedente. Stabilisci se il quadrilatero $ PTOS $ è inscrivibile o circoscrivibile a una circonferenza, determinando, in caso affermativo, il raggio della circonferenza circoscritta o inscritta.
Ragionamento: il quadrilatero è sia circoscrivibile che inscrivibile. Ho trovato il raggio della circonferenza circoscritta al quadrilatero ( $ r $ ) . Considerando che la circonferenza inscritta ha centro nell'intersezione delle bisettrici, questo centro dovrebbe essere sempre su $ OP $ e considerando che la bisettrice dell'angolo in $ T $ divide quest'ultimo in due angoli di $ 45° $ , ho cercato di ricollegarmi alla circonferenza circoscritta e quindi sul quadrante correlato al triangolo che ha vertici $ O $ ,$ T $ e il centro della circonferenza circoscritta $ O' $.Il raggio della circonferenza inscritta dovrebbe essere l'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo rettangolo $ OTO' $ . Posso riuscire a calcolarla, ma il risultato è sbagliato.

Il triangolo $OTP$ ha gli angoli $30-60-90$ e quindi ha i lati $r, 2r. \sqrt3 r$.
Poniamo $r=1$ per semplicita', e mettiamo un triangolo uguale in un piano cartesiano con l'angolo retto in $O$ e l'ipotenusa e' sulla retta $y= -\sqrt3 (x-1)$.
La bisettrice e' $y=x$ e quindi calcoliamo l'intersezione ipotenusa-bisettrice.
$y= x= -\sqrt3 (x-1)$
$x= \sqrt3/(\sqrt3 +1)$.

Questo e' il raggio del cerchio inscritto (da moltiplicare per $r$).

Ok, ho capito. Perchè invece il mio ragionamento è sbagliato?

Il raggio del cerchio inscritto può essere calcolato anche senza l'analitica, solo da $OT=r; PT=r sqrt 3$. Poiché PTOS è formato da due triangoli rettangoli uguali, per la sua area abbiamo $S=OT*PT=r^2 sqrt 3$ ed il semiperimetro è $p=OT+PT=r(1+ sqrt 3)$; calcoli ora il raggio del cerchio inscritto da $r_i=S/p$.
Il tuo ragionamento è sbagliato perché il triangolo OTO' non è rettangolo; infatti, dato che O' sta su PO, si ha $T hat OO'=60°$; inoltre $O hatTO'=45°$ e quindi non ci sono angoli retti.

Chiaro. Grazie.